A y B son diferentes de cero ya que $0\in\mathbb{Q}$. Este es el único punto en el que voy a usar $A,B\notin \mathbb{Q}$, por lo que esa condición podría ser reemplazada por $A,B\neq 0$. (La ecuación dada se reduce a $f(x)=f(x)$ si $A=0$ o $B=0$, por lo que en ese caso cualquier $f$ serviría). Además, $A+B$ debe ser distinto de cero ya que de lo contrario la ecuación dada no está definida.
Para cada $x$ y $y$ la ecuación dada determina que $f$ sea lineal para una combinación lineal particular de $x$ y $y con las proporciones $A/(A+B)$ y $B/(A+B)$. Si $A$ y $B$ tienen el mismo signo, esta es una combinación convexa. Si $A$ y $B$ tienen signos opuestos, se escribe
$$z=\frac{Ax+By}{A+B}$$
y
$$f(z)=\frac{Af(x)+Bf(y)}{A+B}$$
y se resuelve para $x$ y $f(x):
$$x=\frac{(A+B)z-By}{A}\;,$$
$$f(x)=\frac{(A+B)f(z)-Bf(y)}{A}\;.$$
Si $A+B$ y $-B$ tienen el mismo signo, esta es una combinación convexa con las proporciones $(A+B)/A$ y $-B/A$. Si no, entonces $A+B$ y $-A$ tienen el mismo signo, por lo que se puede hacer lo mismo resolviendo para $y$ en lugar de $x.
Así, en cualquier caso la condición dada fija que $f$ sea lineal para una combinación convexa particular de cualquier par de argumentos. Denote por $g$ la función que mapea un par de puntos a esta combinación convexa y por $S$ el cierre de $\partial D^n$ bajo $g$, es decir, el conjunto de todos los puntos que pueden ser alcanzados en un número finito de pasos comenzando con todos los puntos en el borde del cubo y en cada paso añadiendo la combinación convexa dada para cada par de puntos alcanzados hasta ahora. Entonces existe un $f$ no nulo si $S\neq D^n$, ya que $f$ tiene que ser cero en $S$ y podemos elegir que $f$ sea cualquier función lineal en $D^n\backslash S$.
Si $n=1$, $S$ es numerable y $D^1$ es no numerable, por lo que $S\neq D^n$.
Para $n>1$, dado $w$ en el interior de $D^n$ cada línea a través de $w$ tiene dos intersecciones con $\partial D^n$. Se elige alguna familia continua de líneas a través de $w$ de tal manera que la proporción en la que $w$ se encuentra entre estas intersecciones varía a lo largo de la familia. Para cada línea, $S$ contiene al menos el cierre del conjunto de las dos intersecciones bajo $g$. Los puntos en ese cierre se encuentran en las mismas proporciones entre las intersecciones para cada línea, y estas proporciones forman un subconjunto denso (numerable) de $[0,1]$. Ahora, a medida que la línea varía continuamente en la familia continua de líneas, la proporción en la que $w$ se encuentra en la línea varía de manera continua, y por lo tanto barre elementos de $P$. Así que $w\in S$, y por lo tanto $S=D^n$.
En resumen, para $A$ y $B$ arbitrarios hay un $f$ no nulo que satisface la ecuación dada si y solo si $n=1$.
Señalar que no se utilizó la condición de acotamiento.
