Arreglemos tres números en $[0,1]$ y sumémoslos para obtener $1$. Los denoto como $p_1, p_2, p_3$.
¿Podrías ayudar a demostrar que, para cada posible vector de números reales $U\equiv (U_0, U_1, U_2)\in \mathbb{R}^3$, existe un vector aleatorio $\epsilon\equiv (\epsilon_0, \epsilon_1, \epsilon_2)$ distribuido continuamente en $\mathbb{R}^3$ de manera que se cumplan las siguientes igualdades: $$ \begin{cases} p_1=Pr(\epsilon_1-\epsilon_0\geq U_0-U_1, \epsilon_1-\epsilon_2\geq U_2-U_1)\\ p_2=Pr(\epsilon_2-\epsilon_0\geq U_0-U_2, \epsilon_1-\epsilon_2\leq U_2-U_1)\\ p_3=Pr(\epsilon_1-\epsilon_0\leq U_0-U_1, \epsilon_2-\epsilon_0\leq U_0-U_2) \end{cases} $$
Esta pregunta está relacionada con un problema de identificación en econometría.
Siguiendo los comentarios a continuación, primero reduzco la dimensión de mis desigualdades. En realidad, $$ \begin{cases} Pr(\epsilon_1-\epsilon_0\geq U_0-U_1, \epsilon_1-\epsilon_2\geq U_2-U_1)=Pr(\eta_1\geq -V_1, \eta_1-\eta_2\geq V_2-V_1)\\\ Pr(\epsilon_2-\epsilon_0\geq U_0-U_2, \epsilon_1-\epsilon_2\leq U_2-U_1)=Pr(\eta_2\geq -V_2, \eta_1-\eta_2\leq V_2-V_1)\\ Pr(\epsilon_1-\epsilon_0\leq U_0-U_1, \epsilon_2-\epsilon_0\leq U_0-U_2)=Pr(\eta_1\leq -V_1, \eta_2\leq -V_2) \end{cases} $$
donde $$ \eta_1\equiv \epsilon_1-\epsilon_0\\ \eta_2\equiv \epsilon_2-\epsilon_0\\ V_1\equiv U_1-U_0\\ V_2\equiv U_2-U_0\\ $$
Consideremos las regiones $$ \begin{aligned} &\mathcal{R}_{1,U}\equiv \{(\eta_1,\eta_2)\in \mathbb{R}^2: \eta_1\geq -V_{1}, \eta_1-\eta_2\geq V_{2}-V_{1}\}\\ & \mathcal{R}_{2,U}\equiv \{(\eta_1,\eta_2)\in \mathbb{R}^2: \eta_2\geq -V_{2}, \eta_1-\eta_2\leq V_{2}-V_{1}\}\\ & \mathcal{R}_{3,U}\equiv \{(\eta_1,\eta_2)\in \mathbb{R}^2: \eta_1\leq -V_1, \eta_2\leq -V_2\}\\ \end{aligned} $$ Estas regiones no son vacías y no se solapan (excepto en los bordes que, sin embargo, tienen medida de probabilidad cero). Además, tienen un vértice común con coordenadas $(-V_{1},-V_{2})$.
Ahora construyo una distribución continua para $(\eta_1, \eta_2)$ de manera que \begin{equation} \label{eta_system} \begin{cases} p_1=Pr(\eta_1\geq -V_1, \eta_1-\eta_2\geq V_2-V_1)\\\ p_2=Pr(\eta_2\geq -V_2, \eta_1-\eta_2\leq V_2-V_1)\\ p_3=Pr(\eta_1\leq -V_1, \eta_2\leq -V_2) \end{cases} \end{equation} Considera una distribución normal bivariada, $\mathcal{N}_2(\mu, \Sigma_{\kappa_1,\kappa_2})$ con media $$ \mu\equiv (-V_1,-V_2) $$ y matriz de varianza-covarianza $$ \Sigma_{\tau_1,\tau_2}\equiv \begin{pmatrix} 5 & \tau_1\\ \tau_1 & \tau_2 \end{pmatrix} $$ Podemos mostrar que existen valores de $(\tau_1,\tau_2)$ tales que el sistema anterior se cumple para $\eta\sim \mathcal{N}_2(\mu, \Sigma_{\tau_1,\tau_2})$ [¿CÓMO?].
Sea $\epsilon_0\sim \mathcal{N}(0,1)$. Sean $\epsilon_1\equiv \eta_1+\epsilon_0$ y $\epsilon_2\equiv \eta_2+\epsilon_0$. Estos $\epsilon$ satisfacen mi sistema original
