Sea $A$ un anillo conmutativo, y $M$ un $A$-módulo. ¿Existen condiciones razonablemente generales (tanto en $A$ como en $M$) que aseguren que el anillo $\mathrm{End}_A(M)$ sea conmutativo? También me interesa conocer clases de $A$-módulos que tengan esta propiedad. ¿Tienen algún nombre?
Respuesta
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Desde el primer resultado de una búsqueda en Google
CĂLUGĂREANU, G. y SCHULTZ, P. (2010) _Módulos con anillos de endomorfismos abelianos_, Boletín de la Sociedad Matemática Australiana, 82(1), pp. 99–112
podemos ver que el problema ni siquiera está completamente entendido para $A=\mathbb Z$:
Es un problema antiguo en teoría de grupos abelianos describir aquellos grupos $G$ cuyo anillo de endomorfismos $\mathrm{End}(G)$ es conmutativo y aquellos anillos conmutativos que son isomorfos al anillo de endomorfismos de un grupo abeliano. Krylov, Mikhalev y Tuganbaev [KMT03] presentan un estudio autoritario de la historia de los problemas. Los resultados conocidos son de dos tipos: si $G$ es de torsión, entonces se conoce una clasificación completa para ambas partes del problema [KMT03, Corolario 19.3]; si $G$ es libre de torsión, entonces no es factible una clasificación; en su lugar, existen teoremas de realización que afirman que se pueden realizar grandes clases de anillos conmutativos como $\mathrm{End}(G)$ para algún grupo $G$ [KMT03, Sección 29]. Naturalmente, los grupos mixtos se encuentran entre estos dos extremos.
El propósito de este artículo es generalizar el problema considerando módulos cuyo anillo de endomorfismos es 'casi conmutativo'. Por ejemplo, describimos clases de módulos cuyos anillos de endomorfismos tienen idempotentes conmutativos, o en los que los ideales unilaterales son bilaterales.
El libro de Krylov - Mikhalev - Tuganbaev parece estar disponible en googlebooks también, y parece ser una lectura valiosa.
Otro resultado interesante fue este artículo
Cox, S. H. Anillos de endomorfismos conmutativos. Pacific J. Math. 45 (1973), no. 1, 87--91. http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102947710.
que describe un problema de Vasconcelos sobre anillos donde los anillos de endomorfismos de cada ideal son conmutativos. Sin embargo, no encontré nada que aplicar a este problema en ese artículo.
