Sea $(A,\mathfrak{m})$ un anillo local regular de dimensión $1$. Establecemos las notaciones usuales: $K$ denota el cuerpo de fracciones de $A$, $\kappa = A/\mathfrak{m}$ denota el campo de residuos y $\pi$ denota un generador de $\mathfrak{m}$. Por ejemplo, si $A = \mathbf{Z}_p$, entonces $\mathfrak{m} = (p)$, $K=\mathbf{Q}_p$, $\kappa = \mathbf{F}_p$ y podemos tomar $\pi = p$.
He escuchado que en este caso específico, un homomorfismo de anillos (conmutativos) $A\to B$ es plano tan pronto como dim($B\otimes K $) = dim($B\otimes \kappa $) (es decir, tan pronto como las fibras tengan la misma dimensión de Krull).
Como señalaron en los comentarios, en este caso, que $B$ sea plano sobre $A$ es equivalente a decir que el mapa $B\to B\colon x\mapsto \pi.x$ es inyectivo. Además, tenga en cuenta que la equidimensionalidad no es una condición necesaria (gracias @Mohan por señalar esto).
Respuesta: la afirmación es falsa tal como se indica, vea los interesantes contraejemplos de @David Lampert y @Johann. Curiosamente, la afirmación también es falsa incluso si asumimos que las fibras son suaves (la fibra cerrada no es suave en el ejemplo de David, pero las fibras son obviamente suaves en el ejemplo de Johann). También tenga en cuenta que según el teorema de milagros de planitud, bastaría con requerir que $B$ sea Cohen-Macaulay.
Reflexiones posteriores: Al final, el resultado que necesitaba es el siguiente:
Lema: sea $A\to B$ como en la pregunta. Supongamos que $B$ tiene fibras equidimensionales, y además que la fibra cerrada es irreducible y suave. Finalmente, asumamos que existe un encaje cerrado de esquemas $A$-schemes $\mathbf{A}_{A}^1\to \mathrm{Spec}B$ de la recta afín sobre $A$ a $\mathrm{Spec}B$ (es decir, un mapa sobreyectivo de álgebra $A$-a $A[X]$). Entonces $B$ es plano sobre $A$.
Prueba: Sea $X$ la adherencia (esquemática) de $\mathrm{Spec}(B_K)$ en $\mathrm{Spec}B$. Por definición, $X$ es un $A$-scheme plano, y su fibra cerrada no está vacía porque $\mathrm{Spec}B$ contiene $\mathbf{A}_{A}^1$. Además, $X_K = \mathrm{Spec}(B_K)$. Por lo tanto, $X_{\kappa}$ es un subesquema cerrado de $\mathrm{Spec}(B_{\kappa})$ de la misma dimensión que $\mathrm{Spec}(B_{\kappa})$. Pero esto implica que $X_{\kappa}=\mathrm{Spec}(B_{\kappa})$ porque, por supuesto, $B_{\kappa}$ es un dominio.
