Puede $\mathbb{R}$ ser escrito como de forma ascendente de la unión de una adecuada aditivo subgrupos?

Question

Puede el grupo $\mathbb{R}$ ser escrito como contables ascendente de la unión de una adecuada subgrupos? (es decir, no existe una serie de adecuada subgrupos $H_1\leq H_2\leq \cdots $ tal que $\cup {H_i}=\mathbb{R}$?)

Answer 1

Los números reales $\mathbb{R}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$. Por el axioma de elección, existe una base $B$. Deje $S_i$ ser el conjunto de todos los números racionales $a/b$ donde los factores primos de a $b$ están entre los $i$ primeros números primos. El conjunto de los números reales con coordenadas (para la base $B$) $S_i$ es un subgrupo $G_i$. Es claro a partir de la definición que $G_i\subset G_{i+1}$. Ahora $B$ es una base y, por tanto, para cada número real hay algunos $G_i$ que lo contienen. O soy yo la incomprensión de la pregunta?

Answer 2

Las construcciones en las otras respuestas usar el axioma de elección, y esto no puede ser evitado. Los subgrupos en cuestión tienen que ser patológico.

Es imposible construir una serie de subgrupos, todos los cuales tienen la propiedad de Baire. Por la categoría de Baire teorema, uno de ellos $G_n$ tendría que ser nonmeager. Un resultado debido a Pettis dice que para cualquier nonmeager set $A \subset \mathbb{R}$ (o cualquier grupo polaco) que tiene la propiedad de Baire, $A - A$ contiene un abierto barrio de 0. Por lo $G_n = G_n - G_n$ contiene un abierto barrio de 0; por lo tanto debe ser igual a $\mathbb{R}$.

Esto es consistente con el axioma de la dependiente de la elección que cada subconjunto de $\mathbb{R}$ tiene la propiedad de Baire (Sela del modelo).

Es imposible construir una serie de subgrupos, todos los cuales son Lebesgue medibles. Contables aditividad, uno de ellos $G_n$ tendría una medida positiva. Un teorema de Steinhaus dice que para cualquier conjunto medible $A$ positivas de la medida de Lebesgue, $A - A$ contiene un abierto barrio de 0. Así como antes, tendríamos que tener $G_n = \mathbb{R}$.

Esto es consistente con el axioma de la dependiente de la elección, junto con algunos de los grandes cardenal axiomas, que cada subconjunto de $\mathbb{R}$ es Lebesgue medible. (Solovay del modelo).

(Descargo de responsabilidad: estoy repitiendo algún conjunto de la teoría de la que he oído hablar pero no se ha estudiado profundamente. Un verdadero experto es agradable para corregir errores o llenar los vacíos.)

Answer 3

Inspirándose en la otra respuesta, si $M$ $\Bbb Z$- submódulo de $\Bbb R$ atravesado por una $\Bbb Q$-espacio vectorial de base y $n_1, n_2,\cdots$ cualquier aumento de cofinal secuencia en los naturales ordenado por la divisibilidad (por ejemplo factoriales como $n_k=k!$), luego tenemos a $M\subseteq n_1^{-1}M\subseteq n_2^{-1}M\subseteq\cdots$ con el sindicato de la $\Bbb R$.