En el artículo explicativo de Tom Apostol (aquí hay un enlace gratuito), al ver la figura a continuación (o esta del proyecto Wolfram) esperaba que vinieran más diagramas para continuar con la descomposición del error de las regiones sombreadas en forma de "piezas triangulares curvas".
Por cada intervalo horizontal unitario, parece ser que la hipotenusa de un triángulo implícito (dentro de la región sombreada) es la corrección lineal. Luego, hay una "tapa" que llena el espacio entre la hipotenusa y la curva real. En esta figura, cada tapa está unida a la hipotenusa implícita desde abajo debido a que la curva es convexa.
Fue una decepción no ver una mayor descomposición de la "tapa" en regiones descritas por curvas parabólicas, cúbicas, luego cuárticas, etc. De alguna manera ninguno de los libros de texto ni otros materiales que he leído tienen tales diagramas para órdenes superiores.
Declaración de la Pregunta
¿Cuál es el análisis correcto para demostrar la 'geometría' de los órdenes sucesivos de la fórmula de Euler-Maclaurin?
¿Existe alguna fuente existente con diagramas (visualización) similares a los anteriores con respecto a un orden superior?
Comentarios Generales
En realidad, no estoy seguro de si mi propuesta es una idea válida (de que tal demostración sea posible). A continuación se muestra una descripción más detallada (repetir lo dicho anteriormente) de lo que quiero decir con la descomposición tentativa de las piezas como los términos de la fórmula de Euler-Maclaurin.
Básicamente se está aproximando la integral definida $F(b)-F(a)$ donde $b>a$, desplegándose en la dirección "opuesta" a la fórmula de Euler-Maclaurin en sí misma. $$ \int_{a}^b f(x) \,\mathrm{d}x \approx F_0 + F_1 + F_2 + \cdots $$ La aproximación se hace por columnas de ancho unitario (suma de $f(k)$, puntos discretamente muestreados) más correcciones para acercarse a la curva (a través de las derivadas de los extremos). $$ \int_{a}^b f(x) \,\mathrm{d}x \approx \overbrace{ \underbrace{ \sum_{k = a}^b f(k) }_{ \textbf{columnas unitarias} } - \frac{f(a)+f(b)}2 }^{ \textbf{columnas unitarias centradas} } - \underbrace{ \frac{f'(b) - f'(a)}{12} - 0 }_{ \textstyle\genfrac{}{}{0pt}{}{\textbf{resultado neto de} }{ \textbf{tapa triangular y parabólica} } } - \overbrace{ \frac{f'''(b) - f'''(a)}{720} - 0}^{ \textbf{tapa cúbica y cuártica} } - \cdots$$
El análisis correcto tendría que tener en cuenta tanto la aparición de los números de Bernoulli como los órdenes individuales de corrección ... y el resto si es posible.
Desarrollo de las Ideas
Para simplificar, considera que $(a,b) \in \mathbb{N}^2$ y que la suma es en pasos unitarios como es habitual, luego pretende que las cosas se escalen adecuadamente.
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La aproximación de orden cero para la integral son las columnas de ancho unitario $$F_0 = \sum_{k=a}^b f(k)$$ Nota que cada columna de altura $f(k)$ está alineada a la izquierda. Por ejemplo, la primera columna para $k = a$ ocupa $x \in [a, a+1]$. Esto significa que la última columna en $k = b$ está completamente fuera del rango de integración.
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El término de orden $2$ (aún de orden cero) desplaza todas las columnas por $\frac12$ para centrarlas. Es decir, cada columna de altura $f(k)$ ahora reside en $x \in [a-\frac12, a+\frac12]$. La última columna está ahora a medias fuera, al igual que la primera columna. Por lo tanto, eliminamos la mitad de cada una de ellas. $$ F_1 = -\frac{f(a) + f(b)}2$$
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El término de orden $3$ (corrección de primer orden, lineal) debería recortar la parte superior de los triángulos de cada columna (nota que los más externos están a la mitad en $k = b$ y $k = a$). La altura de cada triángulo es $f'(k)$ y el ancho es uno. $\color{brown}{\textit{De alguna manera}}$ debería haber una cancelación de términos (combinación o cancelación) con la corrección de orden $3$ y terminamos con $$F_2 = -\frac16 \frac{f'(b) - f'(a)}2$$
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El término de orden $4$ (corrección de segundo orden, parabólica) debería ser algo que involucre tanto a $f''(k)$ como a $f'(k)$. Debería ser una pieza parabólica sobre la corrección triangular (lineal) del orden anterior, similar en espíritu** a lo que se ve en la cuadratura de la parábola. Nota que hay una proporción fija de $\frac13$ (o $\frac23$) entre el área parabólica y el rectángulo que abarca. $\color{brown}{\textit{De alguna manera}}$ debería haber una cancelación con el orden $2$ y también con el orden $4$ para que $$F_3 = 0~.$$
**Aquí se usan piezas parabólicas para llenar los espacios en una iteración y luego se usan piezas cúbicas para la próxima iteración y así sucesivamente, mientras que en la cuadratura antigua se siguen usando piezas triangulares que son lineales. -
El término de orden $5$ (corrección de tercer orden, cúbica) debería ser algún tipo de luna (cresta de luna) sobre la corrección parabólica, y $\color{brown}{\textit{de alguna manera}}$ después de la cancelación terminará siendo $$F_4 = -\frac{f'''(b) - f'''(a)}{720}$$
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Y así sucesivamente ....
Al final, se debe dejar la suma $F_0$ en un lado de la ecuación por sí sola, moviendo los términos $F_1$, $F_2$, $F_3$ etc al lado de la integral, para tener la fórmula de suma de Euler-Maclaurin. $$F_0 \approx \int_{a}^b f(x) \,\mathrm{d}x - F_1 - F_2 - \cdots$$
