¿Cómo calcular la función zeta de Riemann en los enteros negativos?

Question

Ya hay preguntas como $1 + 1 + 1 +\cdots = -\frac{1}{2}$ y ¿Por qué $1+2+3+\cdots = -\frac{1}{12}$? que muestran cómo se pueden calcular $\zeta(0)$ y $\zeta(-1)$.

¿Cuáles son algunas formas de evaluar la función zeta de Riemann en cualquier número entero negativo que parezca tener una correlación directa con $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}$? Es decir, resultados que pueden ser obtenidos manipulando esta serie de manera directa. No cosas como la fórmula de reflexión o los números de Bernoulli que no parecen estar relacionados con la serie mencionada anteriormente.

Answer 1

Uno puede relacionar la función zeta de Riemann $\zeta(s)$ con la función eta de Dirichlet $\eta(s)$ usando

$$ (1-2^{1-s})\zeta(s) =(1-2^{1-s})\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} =\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^s} =\eta(s)$$

lo cual se sigue fácilmente multiplicando el LHS. Esta identidad se mantiene a priori para $s > 1$, y luego se extiende a todo $s\in\mathbb{C}$ por el principio de continuación analítica. Además,

$$\eta(s) =\lim_{x\to-1^+}\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n-1}}{n^s}. \tag{1}$$

De hecho, el teorema de Abel establece esto inmediatamente para $s > 0$, donde $\eta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}$ se mantiene, y un argumento más delicado muestra que esta identidad sigue manteniéndose para todo $s\in\mathbb{C}$. Usando esto, obtenemos

$$\zeta(0) =-\lim_{x\to-1^+}\sum_{n=1}^\infty x^{n-1} =-\lim_{x\to-1^+}\frac{1}{1-x} =-\frac{1}{2}$$

$$\zeta(-1) =-\frac{1}{3}\lim_{x\to-1^+}\sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} =-\frac{1}{3}\lim_{x\to-1^+}\frac{1}{(1-x)^2} =-\frac{1}{12}$$

Answer 2

$$\zeta(s) =\sum_{n=1}^\infty n^{-s}=\sum_{n=1}^\infty s\int_1^\infty x^{-s}dx=s \int_1^\infty \lfloor x\rfloor x^{-s-1}dx= \frac{s}{s-1}+\frac12-s \int_1^\infty (x-\lfloor x\rfloor-\frac12)x^{-s-1}dx$$

$$B_0(x)=x-\frac12,\qquad {B_{k+1}}'(x)=B_k(x),\qquad\int_1^2 B_{k+1}(x)dx=0$$

Por inducción comenzando con $k=0$, para $\Re(s) > -k$ $$\zeta(s)=\frac{s}{s-1}-\sum_{m=0}^k B_m(1)(\prod_{l=0}^m (s+l))- (\prod_{l=0}^k (s+l)) \int_1^\infty B_k(x-\lfloor x\rfloor)x^{-s-1-k}dx$$ (integración por partes) $$ =\frac{s}{s-1}-\sum_{m=0}^{k+1}B_m(1)(\prod_{l=0}^m (s+l))-( \prod_{l=0}^{k+1} (s+l) )\int_1^\infty B_{k+1}(x-\lfloor x\rfloor)x^{-s-1-(k+1)}dx$$

Por lo tanto

$$\zeta(-N)=\frac{-N}{-N-1}-\sum_{m=0}^N B_m(1)\prod_{l=0}^m (-N+l)$$

Answer 3

Un enfoque autónomo. Uno podría comenzar con $$ \zeta(s)=\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx $$ donde la serie y la integral son convergentes en $\text{Re}(s)>1$. Una continuación analítica sobre un subconjunto más grande de $\mathbb{C}$ se puede lograr aplicando IBP varias veces: por ejemplo $$ \frac{1}{(s-1)\Gamma(s)}\int_{0}^{+\infty}x^{s-1}\cdot-\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{e^x-1}\right)\,dx $$ proporciona una continuación analítica sobre $\text{Re}(s)>0$ y $$ \frac{(-1)^{k}}{(s-1)\Gamma(s+k+1)}\int_{0}^{+\infty}x^{s+k}\cdot\frac{d^{k+2}}{dx^{k+2}}\left(\frac{x}{e^x-1}\right)\,dx $$ proporciona una continuación analítica sobre $\text{Re}(s)>-(k+1)$. En particular, seleccionando $s=-k$ en la línea anterior, $$ \zeta(-k)=\frac{(-1)^{k+1}}{k+1}\int_{0}^{+\infty}\frac{d^{k+2}}{dx^{k+2}}\left(\frac{x}{e^x-1}\right)\,dx =\frac{(-1)^k}{k+1}\cdot\left.\frac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}\left(\frac{x}{e^x-1}\right)\right|_{x=0}$$ de donde se sigue que los valores de la función zeta de Riemann sobre los enteros no positivos se pueden calcular a partir de la serie de Maclaurin de $\frac{x}{e^x-1}$. Dado que $$ \frac{x}{e^x-1}=-\frac{x}{2}+\underbrace{\frac{x}{2}\coth\frac{x}{2}}_{\text{función par}}$$ tenemos que $\zeta(-2n)=0$ para cualquier $n\in\mathbb{N}^+$, y $\zeta(0)=-\frac{1}{2}$.