Justificación matemática de este truco de matriz "34"

Question

A menudo la maestra de mi hijo le muestra divertidos "trucos" matemáticos. Normalmente tomo esto como un momento para mostrarle lo que realmente subyace al truco (por ejemplo, por qué dos cuadrados consecutivos difieren por un número impar predecible). Sin embargo, el más reciente se me está escapando.

Considera el arreglo cuadrado $$ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16. \end{matrix} $$

El proceso es seleccionar entradas basadas en reglas tipo cuadrado latino. Así, elige un número $x_1$ de la primera fila. Ahora elige un número $x_2$ de la fila $2$, con la estipulación de que no puedes elegir de la columna que contiene la entrada $x_1$. Elige $x_3$ de la fila $3$ con las mismas estipulaciones: no puedes seleccionar de ninguna de las columnas que contienen $x_1$ o $x_2$. La entrada final $x_4$ de la fila $4$ está ahora dictada. La afirmación es que $x_1+x_2+x_3+x_4=34$ independientemente de las elecciones que hayas hecho.

Ciertamente podría hacer esto a la fuerza y verificar la afirmación, pero eso no es muy divertido. Estoy buscando una explicación más elegante y algebraica. He intentado hacer algunas pequeñas reescrituras algebraicas. Si $x_1 = k$ donde $k$ es el número de columna de donde se selecciona $x_1$, entonces $x_2=4+k$ es entonces imposible. Sin embargo, esto no me ayuda a cubrir los tres valores reales posibles para $x_2$. El problema se complica luego al pasar a la fila $3$.

Ciertamente hay algún pequeño detalle algebraico que está haciendo que esto funcione, pero aún no lo veo. Entonces, ¿cuál es el argumento ingenioso de que todas las sumas legales serán $34$?

Answer 1

Cada fila tiene 'restos' $1$, $2$, $3$ o $4$ del múltiplo anterior de $4$. Entonces, realmente la tabla es $$\begin{matrix} 0+1&0+2&0+3&0+4\\ 4+1&4+2&4+3&4+4\\ 8+1&8+2&8+3&8+4\\ 12+1&12+2&12+3&12+4 \end{matrix}$$ Cual sea la elección que tomes, vas a seleccionar cada resto exactamente una vez. Así que, la suma es simplemente $(0+4+8+12)+(1+2+3+4)=34$.

Espero que esto ayude. :)

Answer 2

Gráficamente, ...

... tenemos esto:

a: *
b: **
c: ***
d: ****

a: **** *
b: **** **
c: **** ***
d: **** ****

a: **** **** *
b: **** **** **
c: **** **** ***
d: **** **** ****

a: **** **** **** *
b: **** **** **** **
c: **** **** **** ***
d: **** **** **** ****

Debes escoger una barra de cada grupo de 4, pero debe ser una diferente: si escoges a de un grupo, no debes escoger a de ningún otro grupo.

Entonces, por ejemplo, del tercer grupo, estás efectivamente eligiendo la base común **** ****, más una pieza del triángulo

*
**
***
****

Al final, tu selección contiene las tres barras ****, **** **** y **** **** ****, que suman 24. Además, tu selección contiene un triángulo completo, que contiene 10 asteriscos. Eso suma un total de 34.

Cualquier cambio que hagas en la selección no afecta la suma. Por ejemplo, si en la segunda fila de la matriz, escoges la cuarta entrada en lugar de la tercera, eso suma 1 a la suma. Pero un cambio de compensación debe hacerse en otra fila: en otra fila, tendrás que escoger la tercera entrada en lugar de la cuarta para cumplir con las reglas de selección. Eso restará 1 a la suma, manteniéndola en 34.

Por inducción, ...

Tenemos este caso base:

(1)  2   3   4
 5  (6)  7   8
 9  10 (11) 12
13  14  15 (16)

Observando, estos números de la diagonal suman 34. Cumplen con los criterios de selección: cada uno es una columna diferente. Así que ese es nuestro caso base de inducción.

Ahora, supongamos que hacemos un cambio en la selección de alguna fila:

(1)  2   3   4
 5   6   7  (8)
 9  10 (11) 12
13  14  15 (16)!!!

Elegimos 8 en lugar de 6. Eso suma 2 a la suma, haciéndola 36. Sin embargo, ahora estamos rompiendo las reglas porque 8 choca con 16. Para reparar esto, debemos elegir 14 en lugar de 16:

(1)  2   3   4
 5   6   7  (8)
 9  10 (11) 12
13 (14) 15  16

Pero 14 en lugar de 16 disminuye la suma en 2, devolviéndola a 34.

Cada posible selección puede hacerse mediante una secuencia de intercambios, que preservan la suma. Prueba informal: para cualquier selección i, j, k, l, simplemente podemos trabajar de arriba abajo, moviendo la selección a la figura deseada, y luego corrigiendo la fila que choca debajo. Seleccionamos i en la primera fila, luego buscamos la fila que choca debajo, intercambiando la selección con esa. Luego hacemos lo mismo para las segunda y tercera filas. La cuarta fila quedará con l seleccionado.

Por ejemplo, podemos seleccionar la diagonal inversa, comenzando con esto:

 (1)  2   3   4
  5   6   7  (8)
  9  10 (11) 12
 13 (14) 15  16

Luego intercambiamos los paréntesis entre las filas 1 y 2:

  1   2   3  (4)
 (5)  6   7   8
  9  10 (11) 12
 13 (14) 15  16

La suma gana y pierde 3, manteniéndose en 34. Luego intercambiamos los paréntesis de las filas 2 y 3:

  1   2   3  (4)
  5   6  (7)  8
 (9) 10  11  12
 13 (14) 15  16

y finalmente los de las filas 3 y 4:

  1   2   3  (4)
  5   6  (7)  8
  9 (10) 11  12
(13) 14  15  16

En cada intercambio, la suma se mantiene igual porque lo que acreditamos en una fila lo debitamos en otra.

Answer 3

También puedes calcular el promedio de cada fila, ya que no puedes elegir la misma columna dos veces, y luego sumarlos: 2,5 + 6,5 + 10,5 + 14,5 = 34

...pero prefiero la respuesta de ultralegend5385, sin embargo.

Answer 4

Aquí hay otra forma de verlo. El número en el cuadro $(i,j)$ es $4(i-1)+j$.

Elegir los números es equivalente a seleccionar $j_1,...,j_4$ correspondientes a la columna para la fila $i=1,...,4$. La única condición es que los $j_k$ sean distintos. Sin embargo, siempre tenemos (ordenando los números) $j_1+...+j_4 = 1+...+4 = 10$.

Luego, la suma de los números es $\sum_{i=1}^4 4(i-1)+j_i = \sum_{i=1}^4 4(i-1)+ \sum_{i=1}^4 j_i = 24+10$.