Dos definiciones diferentes de Función General Medible

Question

He notado dos tipos diferentes de definiciones para una Función Medible.

En el Real Analysis Modern Techniques de Folland:

Si $(X, \mathcal {M})$ y $(Y, \mathcal {N})$ son espacios medibles, una asignación $f: X \to Y$ se llama $(\mathcal {M}, \mathcal {N})$-medible, o simplemente medible cuando se entiende que $\mathcal {M}$ y $\mathcal {N}$ son medibles, si $f^{-1}(E) \in \mathcal {M}$ para todo $E \in \mathcal {N}$.

En la Measure Theory de Halmos:

Supongamos ahora que, además del conjunto $X$, se nos da también un $\sigma$-anillo $\mathcal {S}$ de subconjuntos de $X$ de modo que $(X, \mathcal {S})$ es un espacio medible. Para toda función real (y también para toda función real extendida) $f$ en $X$ escribiremos $$N(f) = \{x: f(x) \ne 0 \};$$ si una función real $f$ es tal que, para todo subconjunto Borel $M$ de la recta real, el conjunto $N(f) \cap f^{-1}(M)$ es medible, entonces $f$ se llama una función medible.

Pienso que ambos tipos de Función Medible mencionados anteriormente hablan acerca de una edición más general en comparación con la función medible de Lebesgue. Básicamente, la diferencia entre estas dos funciones medibles generales es si se aísla el $0$ del codominio. ¿Por qué Halmos hace tal eliminación? ¿O es simplemente un proceso evolutivo de la teoría de la medida de Halmos a Folland porque el libro de Folland salió mucho más tarde?

Answer 1

Gyu Eun Lee está en lo cierto en su comentario. Halmos desarrolla la teoría de la medida usando σ-anillos y Folland usando σ-álgebras.

Tenga en cuenta que si nos limitamos a espacios medibles $(X,\mathcal S)$ donde $\mathcal S$ es una $\sigma$-álgebra, entonces una función real (o real extendida) es medible según la definición de Halmos si y solo si es medible según la definición de Folland.

¿Por qué Halmos excluye la preimagen de $0$? Halmos lo hace porque, si $(X,\mathcal S)$ es un espacio medible donde $\mathcal S$ es un σ-anillo pero no una σ-álgebra, entonces para cualquier función real $f$ de $(X,\mathcal S)$, $f^{-1}(\mathbb{R})$ no es medible. Por lo tanto, si la preimagen de $0$ no fuera excluida, NO habría NINGUNA función medible de $(X,\mathcal S)$.

El punto clave es que Halmos desarrolla la noción de funciones medibles e integrables usando σ-anillos, lo cual es un enfoque ligeramente más amplio que usar solo σ-álgebras, pero hace necesario lidiar con una complejidad adicional.

También tenga en cuenta que en Halmos $\S$39, Halmos define la TRANSFORMACIÓN medible de la misma manera que Folland (pero siempre considerando σ-anillos) y explica la "inconsistencia" entre su definición de función medible y su definición de transformación medible.

Como escribí para responder a otra pregunta hace algún tiempo:

La Teoría de la Medida usando σ-anillos conducirá a una noción más compleja de función medible, con algunos resultados no intuitivos.

Sea $\Omega$ un conjunto y sea $\Sigma$ una σ-álgebra. Sea $f$ una función de $\Omega$ a $\mathbb{R}$. Decimos que $f$ es medible si para cada conjunto de Borel $B$ en $\mathbb{R}$, $f^{-1}(B)\in \Sigma$.

Ahora, supongamos que $\Sigma$ es un σ-anillo y tratamos de usar la misma definición. Entonces, puesto que $\Omega=f^{-1}(\mathbb{R})$, o bien $\Sigma$ es una σ-álgebra o no habrá ninguna función medible de $(\Omega,\Sigma)$.

Por lo tanto, al trabajar con σ-anillos, necesitamos una definición ligeramente diferente (como encontramos en el libro de Halmos). Decimos que $f$ es medible si para cada conjunto de Borel $B$ en $\mathbb{R}$, $[f\neq 0]\cap f^{-1}(B)\in \Sigma$.

Esta segunda definición permite la existencia de funciones medibles incluso si $\Sigma$ es solo un σ-anillo y no una σ-álgebra. Sin embargo, conduce a algunos resultados no intuitivos. Por ejemplo: supongamos que $\Sigma$ es solo un σ-anillo y no una σ-álgebra. Entonces cualquier función constante distinta de cero NO es mensurable. Como consecuencia, si $f$ es medible, entonces es fácil de probar, por ejemplo, que $f+1$ NO es medible.

Por lo tanto, la teoría de funciones medibles e integrables se desarrolla de manera más natural utilizando σ-álgebras, en lugar de solo σ-anillos.