Acerca de las versiones confluentes de la Función Hipergeométrica de Appell y las Funciones de Lauricella

Question

Conozco dos propiedades importantes sobre la Función Hipergeométrica de Appell y las Funciones de Lauricella:

$F_1(a,b_1,b_2,c;x,y)=\dfrac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-xt)^{-b_1}(1-yt)^{-b_2}~dt$ , donde $\text{Re}(c)>\text{Re}(a)>0$

$F_D^{(n)}(a,b_1,\ldots,b_n,c;x_1,\ldots,x_n)=\dfrac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-x_1t)^{-b_1}\cdots(1-x_nt)^{-b_n}~dt$ , donde $\text{Re}(c)>\text{Re}(a)>0$

Ahora quiero simplificar $\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-xt)^{-b}e^{yt}~dt$ y $\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-x_1t)^{-b_1}\cdots(1-x_nt)^{-b_n}e^{yt}~dt$ , donde $\text{Re}(c)>\text{Re}(a)>0$ .

Sé que puedo tomar prestado el concepto de la Función Hipergeométrica Confluente para expresar las dos integrales como:

$\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-xt)^{-b}e^{yt}~dt=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}{\Gamma(c)}\lim\limits_{k\to\infty}F_1\left(a,b,k,c;x,\dfrac{y}{k}\right)$

$\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-x_1t)^{-b_1}\cdots(1-x_nt)^{-b_n}e^{yt}~dt=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}{\Gamma(c)}\lim\limits_{k\to\infty}F_D^{(n+1)}\left(a,b_1,\ldots,b_n,k,c;x_1,\ldots,x_n,\dfrac{y}{k}\right)$

Pero no me gusta dejar los límites no simplificados como resultado final. ¿Cómo puedo simplificar aún más?

Answer 1

Considere la integral \begin{align} I_{n} = \int_{0}^{1} e^{y t} \ t^{a-1} (1-t)^{c-a-1} (1-x_{1} t)^{-b_{1}} \cdots (1-x_{n} t)^{-b_{n}} \ dt. \end{align> Expandir el exponencial en forma de serie lleva a \begin{align} I_{n} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^{n}}{n!} \ \int_{0}^{1} t^{a+n-1} (1-t)^{c-a-1} (1-x_{1} t)^{-b_{1}} \cdots (1-x_{n} t)^{-b_{n}} \ dt \\ &= B(a,c-a) \ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_{n} y^{n}}{n! (c)_{n}} F_{D}^{(n)}(a+n, b_{j}; c+n; x_{j}) \end{align> donde $\{b_{j}\}_{1}^{n}$ y $\{x_{j}\}_{1}^{n}$ representan todos los elementos en los respectivos conjuntos. La función de Lauricella $F_{D}^{(n)}$ se puede representar en forma de serie usando \begin{align> & F_{D}^{(n)}(a, b_{1}, \cdots, b_{n}; c; x_{1}, \cdots, x_{n}) \\ &= \sum_{m_{1},\cdots, m_{n}=0}^{\infty} \frac{(a)_{m_{1}+\cdots+m_{n}} (b_{1})_{m_{1}} \cdots (b_{n})_{m_{n}} }{ (c)_{m_{1}+\cdots+m_{n}} } \frac{x_{1}^{m_{1}}}{m_{1}!} \cdots \frac{x_{n}^{m_{n}}} {m_{n}!} \end{align> y lleva la integral a la forma \begin{align> I_{n} &= B(a, c-a) \ \sum_{k,m_{1},\cdots, m_{n}=0}^{\infty} \frac{(a)_{k+m_{1}+\cdots+m_{n}} (b_{1})_{m_{1}} \cdots (b_{n})_{m_{n}} }{ (c)_{k+m_{1}+\cdots+m_{n}} } \frac{x_{1}^{m_{1}}}{m_{1}!} \cdots \frac{x_{n}^{m_{n}}}{m_{n}!} \frac{y^{k}}{k!} \\ &= B(a, c-a) \ F_{D}^{(n+1)}(a, b_{1}, \cdots, b_{n} ; c; x_{1}, \cdots, x_{n}, y) \end{align>

Ahora, cuando $n=1$ en la integral el resultado se convierte, cuando se usa $F_{D}^{(2)} = F_{1}$, \begin{align> I_{1} &= \int_{0}^{1} e^{y t} \ t^{a-1} (1-t)^{c-a-1} (1-x t)^{-b} \ dt \\ &= B(a, c-a) F_{1}(a, -, b; c; x, y) = B(a, c-a) \Phi_{1}(a,b,c; x,y) \end{align> donde $F_{1}$ es la función de Appell y $\Phi_{1}$ es una serie de Humbert.

Por lo tanto \begin{align> & \int_{0}^{1} e^{y t} \ t^{a-1} (1-t)^{c-a-1} (1-x_{1} t)^{-b_{1}} \cdots (1-x_{n} t)^{-b_{n}} \ dt \\ &= B(a, c-a) \ F_{D}^{(n+1)}(a, b_{1}, \cdots, b_{n} ; c; x_{1}, \cdots, x_{n}, y) \end{align> y \begin{align> & \int_{0}^{1} e^{y t} \ t^{a-1} (1-t)^{c-a-1} (1-x t)^{-b} \ dt \\ &= B(a, c-a) F_{1}(a, -, b; c; x, y) = B(a, c-a) \Phi_{1}(a,b,c; x,y). \end{align>