Demostrar la existencia de una extraña familia de conjuntos

Question

Demostrar la existencia de multitud de familia $\{X_i \subseteq \mathbb{N}\}_{i \in \mathbb{R}}$ tal que la intersección de cualquier $k$ juegos de esta familia es infinita y la intersección de cualquier $k+1$ define que es finito. $k \ge 2$, $\mathbb{N}$ significa números naturales, $\mathbb{R}$ significa que los números reales.

Answer 1

He aquí una construcción que creo que combina el más limpio de los elementos en los días de Noé y Gro-Tsen.

Mediante la aplicación de bijections, podemos utilizar cualquiera de los conjuntos de $A,B$ $|A| = |\mathbb{N}|$ $|B| = |\mathbb{R}|$ en lugar de$\mathbb{N}$$\mathbb{R}$.

Considerar la infinita arraigada árbol binario. Tome $A$ para el conjunto de la $k$-tuplas de vértices del árbol, donde requerimos de los vértices en cada una de las $k$-tupla que se encuentran en el mismo nivel del árbol. Tome $B$ para el conjunto de los infinitos rayos en el árbol que empezar por la raíz. Estos conjuntos tienen la correcta cardinalidades.

Para cada rayo $\rho$$B$, vamos a $X_\rho$ el conjunto de $k$-tuplas en $A$ que contienen al menos un elemento de a $\rho$.

La intersección de cualquier $k$ define de esta forma es infinita, ya que en cada nivel del árbol se puede elegir un $k$-tupla que contiene un vértice de cada rayo.

La intersección de cualquier $k+1$ define de esta forma es finito, ya que en algún nivel del árbol, el $k+1$ rayos deben tener todos los ramificados aparte, así que no hay $k$-tupla de vértices en ese nivel o por debajo de la cual golpea a todos los $k+1$ de los rayos.

Answer 2

Para cada una de las $\xi\colon \mathbb{N}\to\{0,1\}$, considerar el conjunto $X_\xi$ funciones $s\colon \{0,\ldots,N-1\} \to\{0,1\}$ donde $N\in\mathbb{N}$ y tales que existe $j\in\{0,\ldots,k-1\}$ que $s(ik+j)=\xi(i)$ por cada $i$ tal que $ik+j<N$ (aproximadamente): los valores de $s$ en algunas de congruencia clase de mod $k$ deben ser los indicados por $\xi$).

Dado $k$ funciones $\xi_j\colon \mathbb{N}\to\{0,1\}$ ( $0\leq j<k$ ), podemos encontrar una infinidad de $s$ en la intersección de las $X_\xi$, es decir, la retriction $\{0,\ldots,N-1\}$ cualquier $N$ de la función de $ik+j \mapsto \xi_i(j)$. Dado, al menos, $k+1$ de ellos, sin embargo, cualquier forma de asignar la congruencia de las clases de mod $k$ a de ellos tendrá dos diferentes $\xi$'s en la misma clase, de modo que sólo hay un número finito de $N$'s hasta que uno puede construir una función de $s$ estaba de acuerdo con la $\xi$'s en los congruencia de las clases.

Esto construye para cada una de las $\xi \in \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ un conjunto $X_\xi$ finito de secuencias binarias con la intersección de las propiedades (cualquier $\leq k$ de ellos tienen infinitas intersección, cualquier $\geq k+1$ de ellos tienen intersección finita). Ahora es sólo una cuestión de la inyección de los reales en $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ e inyectar el conjunto de $\{0,1\}^*$ finito de secuencias binarias en los números naturales.

(La lectura de Noé Schweber de la solución, este parece ser esencialmente equivalentes, sólo mediante secuencia finita aproximaciones a infinito de secuencias en lugar de aproximaciones racionales a los reales. Me pregunto si muy diferentes construcciones se pueden encontrar.)

Answer 3

OK, he aquí una muy tonta manera de hacerlo:

Un $k$-Cauchy secuencia es una secuencia de $k$-tuplas $((x_1^1, . . . , x_k^1), (x_1^2, . . . , x_k^2), . . .)$ que es de las componentes de Cauchy, es decir, para cada una de las $i$ la secuencia de $(x^1_i, x^2_i, x^3_i, . . . )$ es de Cauchy. (Si usted piensa en una secuencia de Cauchy como la aproximación de una real, creo que de una $k$-secuencia de Cauchy como la aproximación de una $k$-tupla de reales.)

Un $k$-Cauchy secuencia de racionales es sólo una $k$-secuencia de Cauchy, cuyos términos se $k$-tuplas de racionales.

OK, arreglar un bijection $f: \mathbb{Q}\cong \mathbb{N}$; y para cada real $r$, fijar una específica secuencia de Cauchy racionales $C_r$ convergentes a $r$. Tenga en cuenta que a partir de esto podemos asociar un $k$-Cauchy secuencia de racionales $C_F$ cualquier $k$-tupla de reales $F$.

Ahora a través de la $f$ podemos identificar segmentos inicial de $k$-Cauchy secuencias de los racionales con los números naturales. (Es un poco lioso, pero bueno.) El real $r$ le asigna el conjunto de $A_r$ de todos los productos naturales asociados a los segmentos inicial de $k$-Cauchy secuencias de racionales $C_F$ $F\ni r$ , es decir, $$A_r=\{code(\sigma): \sigma\prec C_F\mbox{ for some $F\ni r$ with $\vert F\vert=k$}\}$$ where "$código(\sigma)$" is the natural associated to $\sigma$.

¡Uf! Bien, ahora, vamos a ver que esto satisface las propiedades deseadas. La intersección de a $k$-muchos de los $A_r$s es claramente infinito; la parte difícil es que muestra que la intersección de a $(k+1)$-muchos de los $A_r$s es finito. Este es un buen argumento, que por ahora voy a dejar como un ejercicio, con una sugerencia:

SUGERENCIA: Suponga $A_{r_1}\cap . . . \cap A_{r_{k+1}}$ es infinito. A continuación, muestran que para algunos $i\le k$, infinitamente muchos segmentos inicial de las secuencias de Cauchy $C_{r_i}$ $C_{r_{k+1}}$ son los mismos. ¿Que te dice esto acerca de la $r_i$$r_{k+1}$?

ADEMÁS SUGERENCIA: Para encontrar el $i$ mencionado en la anterior sugerencia, mira a $C_{(r_1, . . . , r_k)}$. Puesto que el $r_i$s son distintos, hay algunos $n$ tal que $C_{r_i}(n)\not=C_{r_j}(n)$ cualquier $i<j\le k$ (żpor qué?). Así que busque en el $n$el plazo de la $C_{(r_1, . . . , r_k)}$. Esta es una $k$-tupla, y uno de los elementos de esta $k$-tupla debe ser la longitud-$n$ segmento inicial de $C_{r_{k+1}}$ (por qué?) . . .

Answer 4

Este es el mismo que el de otras construcciones, pero dicho de forma más limpia. Considere la posibilidad de un fijo $k\in\mathbb N.$

Deje $S$ ser el conjunto de todas las infinitas secuencias de ceros y unos, y deje $M=\bigcup_{n\in\mathbb N}M_{k,n}$ donde $M_{k,n}$ es el conjunto de todos los $k\times n$ matrices de ceros y unos; por lo tanto $|S|=2^{\aleph_0}=|\mathbb R|,\ |M|=\aleph_0=|\mathbb N|,$ $|M_{k,n}|=2^{kn}$ es finito. Definir una familia de $\{X_s\subseteq M\}_{s\in S}$ como sigue: $s\in S,$ vamos $$X_s=\{A\in M:\text{ some row of }A\text{ is an initial segment of }s\}.$$ Es fácil ver que, si $s_1,\dots,s_k,s_{k+1}$ son elementos distintos de a $S,$ $X_{s_1}\cap\dots\cap X_{s_k}$ es infinito mientras que $X_{s_1}\cap\dots\cap X_{s_k}\cap X_{s_{k+1}}$ es finito.