Primeras estimaciones de orden de las coordenadas normales geodésicas

Question

Sea $(M^n,g)$ una variedad Riemanniana completa con $|Rm| \le 1$. ¿Podemos encontrar dos constantes positivas $C$ y $\epsilon$, dependiendo solo de $n$, de modo que bajo las coordenadas normales $(g_{ij})$ con respecto a cualquier punto $p \in M$, tengamos $$ |\partial_k g_{ij}(x)| \le C $$ para cualquier $|x| \le \epsilon$?

Como se señala en el comentario, si el radio de injectividad en $p$ es pequeño, entonces las estimaciones deben entenderse para el pull-back de $g$ al espacio tangente, lo cual siempre está bien definido por el límite de la curvatura.

Answer 1

La respuesta es 'no' para $n=2$ (y por lo tanto para todos los $n$ superiores). Así es como se puede ver esto.

Primero, cuando $n=2$, recuerda que, por el Lema de Gauss, una métrica $g$ en coordenadas normales geodésicas $(x,y)$ centradas en $p$ tiene la forma $$ g = \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + h(x,y)\bigl(x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm {d}x)^2, $$ donde la función $h$ es arbitraria, sujeta a la condición de que $(x^2{+}y^2)h(x,y)+1>0$.

Tomando $r^2 = x^2 + y^2$ y dejando que $R$ sea el campo vectorial radial $x\,\partial_x + y\,\partial_y$, se calcula la fórmula para la curvatura de Gauss de $g$ como $$ K = -\frac{2(1+r^2h)(RRh) - r^2(Rh)^2+2(5+3r^2h)(Rh) + 8r^2h^2+12h}{4(1+r^2h)^2}. $$ Así, en el disco geodésico de radio $\epsilon>0$ alrededor de $p$, es decir, donde $r^2=x^2 + y^2 \le\epsilon^2$, podemos mantener $|K|$ tan pequeño como queramos simplemente imponiendo límites suficientemente pequeños en $h$, $Rh$ y $RRh$, es decir, en $h$ y sus dos primeras derivadas radiales. Más precisamente, para cualquier $M>0$, existe un $\delta>0$ tal que, si $|h|$, $|Rh|$ y $|RRh|$ están limitados por $\delta$ cuando $r\le\epsilon$, entonces $|K|\le M$ cuando $r\le \epsilon$.

Sea $\rho(r)$ una función suave que es idénticamente cero cerca de $r=0$ y $r=\epsilon$ y, digamos, positiva en $r=\epsilon/2$, pero que cumple la condición de que, para cualquier constante $\lambda$ con $|\lambda|\le 1$, la función $h(x,y) = \lambda\rho(r)$ produce un $K$ que satisface el límite $|K|\le 1$.

Sea $f(\theta)$ una función suave cualquiera periódica de $2\pi$ limitada por $1$ y considera la función suave $$ h(r\,\cos\theta,r\,\sin\theta) = \rho(r)f(\theta). $$ Entonces $h$ y sus derivadas radiales están limitadas de tal manera que la curvatura de Gauss $K$ para la métrica correspondiente $g$ estará limitada en valor absoluto por $1$, pero la 'derivada angular' de $h$, es decir, $xh_y-yh_x = \rho(r)f'(\theta)$, no necesita estar limitada. En particular, eligiendo $f$ adecuadamente (limitada por $1$ pero con derivadas primeras muy grandes), podemos asegurarnos de que los coeficientes de $g$ en este sistema de coordenadas, es decir, $$ g_{11} = 1 + y^2\,h(x,y),\qquad g_{12} = -xy\,h(x,y),\qquad g_{22} = 1+x^2\,h(x,y), $$ si bien están limitados ellos mismos, tendrán algunas derivadas primeras muy grandes cuando $r = \epsilon/2$. En particular, no hay ninguna constante $C>0$ que limite las primeras derivadas de estas cantidades independientemente de la elección de $f$.