¿Qué suposiciones tendría que hacer para demostrar rigurosamente que la potencia es igual a la fuerza punto velocidad, $P=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}$?

Question

$\newcommand{\F}{\mathbf{F}}$$\newcommand{\r}{\mathbf{r}}$$\newcommand{\v}{\mathbf{v}}$$\newcommand{\d}[2]{ \frac{ d #1 }{ d #2 }}$ Hay una fórmula bien conocida para la potencia $P$ ejercida sobre una masa puntual $P=\F\cdot\v$ donde $\F$ es la fuerza que realiza el trabajo y $\v$ es la velocidad con la que se mueve la masa puntual. La demostración que mi instructor proporcionó en su momento es la siguiente:

$$\begin{align} W &= \int\F\cdot d\r \\ W &= \int\F\cdot\d{\r}{t}\,dt \tag{a} \\ \d Wt &= \frac{d}{dt}\int \F\cdot\d{\r}{t}\,dt \tag{b} \\ P &= \frac{d}{dt}\int\F\cdot\v\,dt \tag{c} \\ P &= \F\cdot\v \tag{R} \\ \end{align}$$

Hay varias razones por las que encuentro esta demostración en general menos que satisfactoria:

• No hace referencia a los límites de integración
• No parece reconocer que $\F$ también puede variar con $t$ al igual que $\r$
• No parece reconocer que $\r$ varía con $t$
• El paso $\rm{(a)}$ podría estar utilizando un argumento posiblemente erróneo de "cancelación de diferenciales"

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En un intento de derivar rigurosamente $\rm{(R)}$, he definido cuidadosamente lo siguiente:

• El intervalo bajo consideración va desde $t=a$ hasta $t=b$
• $\r_t(t)$ mapea un tiempo escalar al vector de posición tridimensional de la masa puntual en ese momento
• $s_t(\tau)$ mapea un tiempo escalar a la distancia escalar recorrida por la masa puntual desde $t=a$ hasta $t=\tau$ definida por $s_t(\tau)=\int_{a}^{\tau}\lvert\v_t(t)\rvert\,dt$
• $\F_\r(t,\r(t))$ mapea un tiempo escalar y el vector de posición tridimensional de la masa puntual que corresponde a ese tiempo al vector tridimensional de la fuerza de trabajo
• $\F_s(t,s(t))$ mapea un tiempo escalar y la distancia escalar recorrida por la masa puntual al vector tridimensional de la fuerza de trabajo
• $F_s(t,s(t))$ mapea un tiempo escalar y la distancia escalar recorrida por la masa puntual al valor escalar de la fuerza de trabajo definido por $F_s(t,s(t))=\lvert\F_s(t,s(t))\rvert$

Suponga una definición más precisa del trabajo:

$$W_t(a,b)=\int_{\r_t(a)}^{\r_t(b)} \F_\r(t,\r(t))\cdot d(\r_t(t))$$

He realizado varios intentos en esta derivación utilizando diversos métodos (que no voy a reproducir exhaustivamente aquí), incluyendo:

• Regla de integración de Leibniz
• Determinante jacobiano
• Cambio de variables o sustitución de $u$

pero sin éxito.

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¿Hay suposiciones subyacentes al decir que $P=\F\cdot\v$ que permitirían derivar la ecuación?

¿Qué método se podría usar para derivar $P=\F\cdot\v$?[[

Answer 1

Aquí tienes una derivación rigurosa. La energía es $mv^2/2$, y la potencia es la tasa de cambio de energía, así que $$\renewcommand{\v}[1]{\mathbf{#1}} P = \frac{d}{dt} \frac{m \v{v} \cdot \v{v}}{2} = m \v{a} \cdot \v{v} = \v{F} \cdot \v{v}.$$ ¡Eso es todo.

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Ahora veamos tu derivación. El primer paso $$W = \int \v{F}(\v{r}) \cdot d\v{r} = \int \v{F}(t) \cdot \frac{d\v{r}}{dt} dt$$ es válido, ya que esto es solo la regla de la cadena. (¡Solo porque parece "cancelar los diferenciales" no significa que esté mal! Cancelar diferenciales está completamente bien siempre y cuando sepas lo que estás haciendo.) Ahora renombra $t$ a $\tau$ porque no importa el nombre de la variable de integración. El siguiente paso es $$\frac{dW}{dt} = \frac{d}{dt} \int \v{F}(\tau) \cdot \frac{d\v{r}}{d\tau} d\tau$$ y esto carece de sentido porque no hay dependencia de $t$ para diferenciar.

En cambio, deberíamos escribir explícitamente los límites de integración $t_i$ y $t_f$ donde $W(t_i, t_f)$ es el trabajo realizado desde el tiempo $t_i$ hasta el tiempo $t_f$. Entonces $$\frac{dW}{dt_f} = \frac{d}{dt_f} \int_{t_i}^{t_f} \v{F}(\tau) \cdot \frac{d\v{r}}{d\tau} d\tau = \v{F}(t_f) \cdot \v{v}(t_f)$$ donde usamos el teorema fundamental del cálculo. Ahora el lado izquierdo es igual a la potencia en el tiempo $t_f$, así que $$P(t_f) = \v{F}(t_f) \cdot \v{v}(t_f)$$ que es lo que queríamos.