Propiedad monótona de la solución de una ecuación diferencial lineal (de segundo orden)

Question

Considere la siguiente ecuación diferencial \begin{equation} y''+q(t) y=0 , \end{equation> donde q(t) es una función continua $\leq 0\;\; \forall t \in \mathbb{R}$.

Estoy intentando demostrar que cada solución no constante tal que $y(0)=0$ es estrictamente monótona.

He intentado integrar entre 0 y t pero de esta manera no puedo mostrar nada útil, de hecho al usar el teorema del promedio ponderado obtengo \begin{equation} y'(t)=y'(0)-y(\xi_t)\int_{0}^{t}q(x)dx . Me pregunto si debo continuar para demostrar que $y'$ es $>$ o $<0$ en un subconjunto denso de $\mathbb{R}$ o si debo utilizar un enfoque diferente.

Answer 1

Pista: Demuestra que si hay $a\in {\Bbb R}$ para el cual $y(a)>0$ (o $y(a)<0)$ y $y'(a)=0$ entonces $(a, y(a))$ debe ser un mínimo (o máximo) global y llega a una contradicción.