Ejemplos de grupos fundamentales

Question

Estoy empezando a estudiar los grupos fundamentales y no encontré en los libros de Topología Algebraica muchos ejemplos de ellos. ¿Puedes enumerar los ejemplos que conoces y las demostraciones? Creo que sería útil para un autoestudiante y también para un profesor/profesora que pueda utilizar esto en sus clases.

¿Cuáles son los ejemplos más interesantes que tiene en mente? y los más importantes y básicos que podemos encontrar otros grupos fundamentales?

También podemos pensar en ejemplos en los que podemos utilizar diferentes herramientas y técnicas para entrenar nuestra capacidad y creatividad en el descubrimiento de esos grupos fundamentales.

Gracias

Answer 1

He aquí una breve lista de técnicas para encontrar grupos fundamentales:

1. Encontrar una retracción de la deformación a un espacio para el que se conoce el grupo fundamental
2. El teorema de Seifert-Van Kampen
3. Utilizar los espacios de cobertura y los teoremas de elevación de trayectorias/homotopías (Ver Munkres para este material)

He aquí una breve lista de ejemplos que puede estudiar. Intenta demostrar cada uno de ellos utilizando las 3 técnicas. En mi opinión, la tercera forma suele ser la más difícil y sólo puedo utilizarla para demostrar ejemplos sencillos.

1. El círculo, el $2$ -toro, $S^{1}\times S^{1}\times\cdots\times S^{1}$

2. $\mathbb{R}^{n}$ , $\mathbb{R}^{n}$ con un punto eliminado, $\mathbb{R}^{n}$ con $k$ puntos eliminados, $\mathbb{R}^{n}$ con una línea eliminada, $\mathbb{R}^{n}$ con varias líneas eliminadas, $\mathbb{R}^{n}$ con un círculo eliminado, $\mathbb{R}^{n}$ con un círculo y una línea eliminados, etc.

3. El $n$ -esfera, la $n$ -esfera con $k$ -puntos eliminados, el $n$ -esfera con un círculo eliminado, el $n$ -esfera con un $2$ -esfera eliminada, el $n$ -esfera con un $k$ -esfera eliminada, etc.

4. El toro con un punto eliminado, el toro con un número arbitrario de puntos eliminados, el toro sólido, el género orientable $2$ -el género orientable $n$ -las superficies no orientables, el género orientable $2$ -superficie con un punto eliminado, etc.

5. El complemento del nudo en $\mathbb{R}^{3}$ . El complemento del trébol en $\mathbb{R}^{3}$ . El complemento de un nudo arbitrario incrustado en $\mathbb{R}^{3}$ .

6. El $n$ -gorro de burro doble

7. Espacio proyectivo real y complejo de dimensiones arbitrarias, un grassmaniano arbitrario $Gr(n,k)$

8. Algunos de los grupos de la matriz, $GL(n,\mathbb{R})$ , $SL(n,\mathbb{R})$ , $SO(n,\mathbb{R})$ , $Sp(2n,\mathbb{R})$ etc.

Esto es todo lo que se me ocurre por ahora, pero creo que cualquiera que estudie seriamente la topología algebraica debería intentar resolver estos ejemplos en algún momento.

Answer 2

Si por casualidad conoce los grupos de trenzas o el espacio de configuración y está aprendiendo recientemente sobre el grupo fundamental, entonces lo siguiente debería dejarle boquiabierto.

El espacio de configuración de $n$ puntos en un espacio topológico $X$ suele definirse así,

$$C_{\hat{n}}(X) = \{(z_{1},...,z_{n}) \in X^{n} \; | \; z_{i} \neq z_{j} \; \text{if} \; i\neq j \}$$

Un teorema que puede ser esclarecedor para su comprensión intuitiva de $C_{\hat{n}}(X)$ sería lo siguiente:

$$C_{\hat{n}}([0,1]) = \coprod_{i=1}^{n!} \Delta_{i}^{n}$$

Dónde $\coprod$ denota la unión disjunta, y $\Delta_{i}^{n}$ denota el $i^{th}$ copia del $n$ -simplemente $\Delta^{n}$ . Vemos que hay $n!$ $\Delta^{n}$ porque el grupo simétrico (que tiene orden $n!$ ) actúa libremente sobre $C_{\hat{n}}(X)$ permutando las coordenadas en cada $\vec{z}=(z_{1},...,z_{n}) \in C_{\hat{n}}(X)$ .

De hecho, podemos definir el espacio orbital $C_{n}(X) := C_{\hat{n}}(X) / \Sigma_{n}$ como espacio de configuración modulado por el grupo simétrico en $n$ elementos $\Sigma_{n}$ . Entonces se puede demostrar que $$\pi_{1}(C_{\hat{n}},\vec{p}) = PB_{n}, \; \text{and} \; \pi_{1}(C_{n},\tau(\vec{p})) = B_{n}$$ Dónde, $\tau: C_{\hat{n}}(X) \rightarrow C_{n}(X)$ es un $n!$ -mapa de cobertura llamado proyección del espacio orbital, y $PB_{n}$ y $B_{n}$ son el grupo de trenzas puras y el grupo de trenzas en $n$ y los hilos, respectivamente.

Answer 3

(i) $\pi_1 ( \mathbb R) \cong \{0\}$ . Esto se debe a que los espacios homotópicos equivalentes tienen grupos fundamentales isomorfos y el mapa $h: \mathbb R \times [0,1], (x, t) \mapsto xt$ es un repliegue de deformación que mapea todo $\mathbb R$ al espacio de un punto $0$ y el grupo fundamental de un espacio de un punto es trivial.

(ii) $\pi_1(S^1) \cong \mathbb Z$ . Esto se puede comprobar observando que $\varphi: [0,1] \to S^1, t\mapsto e^{2 \pi it}$ es un generador del grupo fundamental que es, $\pi_1(S^1)$ es cíclico con $[\varphi]^n = [\varphi_n]$ donde $\varphi_n (t) = e^{2 \pi i nt}$ . Para una prueba, véase, por ejemplo, Introduction to Topological Manifolds de Lee, página 181.

(iii) El espacio en forma de ocho: $\pi_1( S^1 \vee S^1) =\mathbb Z \ast \mathbb Z$ . Para ver esto se puede utilizar el teorema de van Kampen para obtener un isomorfismo $\varphi: \ast_i \pi_1(S^1_i) \to \pi_1(\bigvee_i S^1_i)$ . Véase Hatcher's Algebraic Topology, pp 43 para más detalles.

Espero que esto ayude.

Answer 4

Dos respuestas anteriores omiten el estudio del grupo fundamental de un espacio orbital.

En Topología y Groupoides se demuestra en el capítulo 11 que para una acción discontinua de un grupo discreto sobre un espacio de Hausdorff $X$ (por ejemplo $G$ es finito) que satisface algunas buenas propiedades locales (por ejemplo $X$ tiene una cobertura universal), entonces el grupo fundamental del espacio orbital $X/G$ es isomorfo al grupo orbital del grupo fundamental de $X$ . Por lo tanto, se necesitan técnicas para calcular los grupúsculos orbitales y sus grupos de vértices. Éstas, debidas a Higgins y Taylor, se dan en el capítulo 11. Como ejemplo, el grupo fundamental del cuadrado simétrico de un espacio $X$ se calcula que es el grupo fundamental de $X$ se hizo abeliana.

Obsérvese el punto clave de que si $G$ opera en un espacio $X$ entonces opera sobre el grupúsculo fundamental de $X$ pero no necesariamente en un grupo fundamental.

También es útil generalizar la teoría de los espacios de cobertura a las acciones no libres. Ross Geoghegan, en su reseña de 1986 (MR0760769) de dos artículos de M.A. Armstrong sobre los grupos fundamentales de los espacios orbitales, escribió: "Estos dos artículos muestran qué partes de la teoría elemental de los espacios de cobertura se trasladan del caso libre al caso no libre. Este es el tipo de material básico que debería haber estado en los libros de texto estándar sobre grupos fundamentales durante los últimos cincuenta años." Sin embargo, Armstrong no utiliza groupoides, lo que hace que sus resultados parezcan más técnicos.