Integración de una función continua cuyos valores yacen en el límite de un conjunto convexo.

Question

En la demostración de una aproximación holonómica específica, me encontré con la siguiente afirmación:

Sea $\sigma\colon[0,1]\rightarrow\mathbb{S}^1$ no constante y continua, entonces $\displaystyle\int_0^1\sigma(u)\,\mathrm{d}u$ se encuentra en el interior del disco unitario.

Aunque esta afirmación es intuitiva, me resulta difícil demostrarla formalmente; esto es lo que he hecho:

Prueba. Dado que $\sigma$ es continua y $[0,1]$ es compacto, se tiene: $$I:=\int_0^1\sigma(u)\,\mathrm{d}u=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\sigma\left(\frac{k}{n}\right)\tag{1}.$$ Además, dado que $\sigma$ es continua y no constante y dado que $\displaystyle\left\{\frac{k}{n};n\in\mathbb{N};k\in\{0,\cdots,n-1\}\right\}$ es denso en $[0,1]$, existe $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ y $k,k'\in\{0,\cdots,n-1\}$ tales que: $$\sigma\left(\frac{k}{n}\right)\neq\sigma\left(\frac{k'}{n}\right)\tag{2}.$$ Lo cual me motiva a probar el siguiente lema:

Lema. Sea $\{z_1,\cdots,z_n\}$ una colección de puntos en $\mathbb{S}^1$ con al menos dos elementos distintos, entonces cualquier baricentro de $z_1,\cdots,z_n$ se encuentra en el interior del disco unitario.

Dado que para todo $N\geqslant n$, $\displaystyle\frac{k}{n},\frac{k'}{n}\in\left\{\frac{\ell}{N};\ell\in\{0,\cdots,N-1\}\right\}$, de acuerdo a $(1),(2)$ y el lema, $I$ es un límite de puntos que se encuentran en el interior del disco unitario. $\Box$

Sin embargo, no entiendo por qué los elementos involucrados en $(1)$ no pueden acumularse en el límite del disco unitario.

También me preguntaba si la siguiente generalización es verdadera o no:

Proposición. Sea $C\subseteq\mathbb{R}^n$ un conjunto convexo y sea $\sigma\colon[0,1]\rightarrow\partial C$ no constante y continua, entonces $\displaystyle\int_0^1\sigma(u)\,\mathrm{d}u$ se encuentra en el interior de $C$.

Preferiblemente estoy buscando una demostración que pueda adaptarse a la última proposición, ¡pero cualquier aclaración sería muy apreciada!

Answer 1

Lo que necesitas para la conclusión es la estricta convexidad de $C$, la frontera no debe contener ningún subconjunto convexo con más de un punto.

Luego toma un hiperplano de soporte $H = \{ x : \lambda(x) = c\}$ en $x_0 \in \partial C$, para un funcional lineal $\lambda \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ y algún $c \in \mathbb{R}$. Supongamos que $C$ se encuentra en el semiespacio $\{ x : \lambda(x) \leqslant c\}$. Si $C$ es estrictamente convexo, entonces $H \cap C = H\cap \partial C = \{x_0\}$, y por lo tanto $\lambda\circ\sigma \leqslant c$, y dado que $\sigma$ no es constante, $\lambda(\sigma(t_0)) < c$ para algún $t_0 \in [0,1]$. Por continuidad, se sigue que $\lambda \circ \sigma < c$ en algún subintervalo no degenerado de $[0,1]$, y por lo tanto

$$\lambda\Biggl(\int_0^1 \sigma(t)\,dt\Biggr) = \int_0^1 \lambda(\sigma(t))\,dt < c,$$

lo que muestra

$$\int_0^1 \sigma(t)\,dt \neq x_0.$$

Dado que $x_0\in \partial C$ era arbitrario, se deduce que la integral se encuentra en el interior de $C$.

Si $\partial C$ contiene un conjunto convexo $K$ con más de un punto, toma un $\sigma$ no-constante con imagen contenida en $K$, entonces también $\int_0^1 \sigma(t)\,dt\in K \subset \partial C$.

Answer 2

Esto se puede leer como la desigualdad de Schwarz $\lvert \langle \sigma, \mathbb{1} \rangle \rvert \leq \lVert \sigma \rVert \cdot \lVert \mathbb{1} \rVert = 1$ con igualdad si y solo si $\sigma$ es un múltiplo de $\mathbb{1}$, es decir, constante. Tu proposición es falsa si $\partial C$ contiene un segmento de línea.