¿Por qué la separación de variables da la solución general a una EDP?

Question

Estaba leyendo sobre física y me encontré con el método de usar la separación de variables para resolver ciertas EDPs específicas, pero no puedo entender por qué las soluciones específicas dan lugar a la solución general (el libro no dio ninguna explicación para todo esto).

El ejemplo específico en el libro era la Ecuación de Laplace en $2$ variables: $$\frac {\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac {\partial^2 V}{\partial y^2}=0$$ Para el ejemplo anterior, la separación de variables esencialmente consiste en resolver los auto-vectores del operador $\frac {\partial^2 }{\partial x^2}$ y $\frac {\partial^2 }{\partial y^2}$, que son hermitianos y conmutan entre sí. Sé que en el caso de dimensionalidad finita, tales operadores son diagonalizables simultáneamente, entonces resolver los auto-vectores dará todas las soluciones, pero no estoy seguro si esto funciona para dimensiones infinitas. Tampoco estoy seguro si este enfoque funciona en el caso general, para otras EDPs que pueden ser resueltas por separación de variables.

Todos los demás mensajes que encuentro aquí explican cómo o cuándo funciona la separación de variables, en lugar de por qué tales técnicas darán las soluciones generales.

Otra pregunta adicional es: ¿Qué tipo de clases cubrirán estos temas? La única clase de pregrado que parece relevante en mi universidad es Análisis Lineal, que no cubre esto. La secuencia de postgrado de EDP tiene como prerrequisito la secuencia de Análisis Real de posgrado, lo cual no creo que pueda tomar pronto.

Answer 1

Existen varios ingredientes clave que describiré brevemente aquí. No entraré en muchos detalles ya que has mencionado que aún no tienes antecedentes en análisis real de posgrado. Pero de hecho, una descripción completa de la teoría es parte estándar de un curso de posgrado en EDP lineales. Así que espero que esto también responda tu pregunta adicional.

1. Empezamos con un operador lineal fuertemente elíptico (como el Laplaciano) y, junto con alguna condición de contorno apropiada, restringimos a alguna solución adecuada (espacio de Hilbert).

2. En ese espacio de solución, podemos demostrar bajo condiciones bastante generales que los autovalores del operador son numerables y que los autovectores (funciones propias) forman una base ortogonal para el espacio de solución. Esta es la generalización en dimensiones infinitas del resultado de diagonalización de la teoría de matrices regulares. La prueba se basa en el teorema espectral para operadores compactos. La clave aquí es que, salvo un cambio, el inverso de un operador fuertemente elíptico es compacto.

3. Esto demuestra que si podemos construir todos los autovectores del operador, la solución general se puede escribir como una descomposición de estos autovectores.

4. Queda por encontrar los autovectores; en casos especiales (más famosamente, Laplaciano 2D en un rectángulo) esto se puede hacer a través de la separación de variables. Por lo tanto, queda por abordar "¿Por qué la separación de variables produce todos los autovectores?" Para responder a esta pregunta, notamos que demostramos que los autovectores forman una base completa. Luego, vemos que debido a la simetría específica del Laplaciano en el rectángulo, al usar la separación de variables reducimos el problema a un par de ecuaciones de segundo orden en una dimensión; en este proceso producimos los autovectores de estos operadores unidimensionales, y luego a partir de la teoría existente (en particular, la teoría de Sturm-Liouville) sabemos que hemos producido un conjunto de funciones que abarcan el espacio. Como hemos producido una base, no se necesitan otros autovectores para formar una solución general.

Answer 2

La respuesta de @Christopher es muy completa y definitivamente mejor que lo que será esta respuesta. Pero me gustaría hacer algunos comentarios sobre la Separación de Variables.

La Separación de Variables es un proceso de dividir un problema multidimensional en varios problemas unidimensionales. Sin embargo, esto depende de una simetría inherente del dominio, que a su vez determina las coordenadas que permiten la separación de variables.

Si la pregunta se plantea en un rectángulo, es bastante natural que el problema dado en coordenadas rectangulares se pueda descomponer en dos problemas unidimensionales en cada dimensión ortogonal. Si el problema se plantea en un círculo, entonces se requieren coordenadas polares. Sin embargo, si el problema se da en un dominio completamente arbitrario, es poco probable que puedas encontrar un sistema de coordenadas que refleje la simetría del dominio y permita la separación de variables.

Si profundizas en la teoría de Lie, se puede describir un método gráfico grupal para determinar los posibles sistemas de coordenadas que permiten que una ecuación dada sea separable. Sin embargo, no creo que tenga suficiente comprensión sobre esto para comentar más.

Answer 3

La separación de variables se basa en poder elegir un sistema de coordenadas ortogonal en el cual el operador Laplaciano separe. Esa es una restricción bastante fuerte. Por ejemplo, el Laplaciano en 3D se separa en solo un par de docenas de sistemas de coordenadas ortogonales diferentes. Y el sólido en el que estás resolviendo la ecuación de Laplace debe ser un cubo en el sistema de coordenadas curvilíneas, de modo que cada superficie del sólido se describa como un rectángulo en dos variables del sistema de coordenadas curvilíneas. Entonces, bajo estas condiciones, el Laplaciano transformado permite el uso de la separación de variables para resolver la ecuación de Laplace.

Las EDO que resultan de la separación de variables son problemas de autovalores de Sturm-Liouville, que es de donde se originó la teoría de Sturm-Liouville. Los problemas de Sturm-Liouville son más fáciles de analizar que las EDP. Se puede demostrar que existen expansiones de funciones propias para los problemas de Sturm-Liouville. Y eso te da lo suficiente para resolver la ecuación de Laplace utilizando las expansiones de funciones propias que provienen de las EDO de Sturm-Liouville. No necesariamente terminas con expansiones de sumas discretas de funciones propias. Si el dominio es infinito en una o más coordenadas, o si el Jacobiano de la transformación ortogonal a coordenadas curvilíneas se anula en algún lugar en la superficie exterior o en un punto interior, entonces las expansiones de funciones propias pueden implicar sumas discretas y/o integrales de funciones propias en el parámetro de autovalor. La teoría no es necesariamente simple, pero se desarrolló mucho antes de la teoría general de EDP elípticas, y sigue siendo importante porque permite encontrar soluciones explícitas para algunos casos bastante importantes. El método se valida demostrando la completitud de las expansiones de funciones propias asociadas con los problemas de Sturm-Liouville.

La teoría general de EDP elípticas es mucho más general de lo necesario para tratar los problemas donde se aplica la separación de variables para la ecuación de Laplace. Por otro lado, la teoría general no es necesaria cuando se aplica la separación de variables. La separación de variables es una de las pocas formas de obtener soluciones generales y explícitas para geometrías específicas. Aunque no hay muchos casos en los que las soluciones explícitas sean posibles, estos casos son útiles como casos especiales que ayudan a revelar la naturaleza general de las EDP elípticas.