¿Qué es exactamente una ecuación?

Question

Me parece que una ecuación, en un sentido abstracto, siempre debe involucrar algunas cantidades variables donde las cantidades variables pertenecen a algún espacio (conjunto, estructura algebraica, lo que sea). Para hacer precisa la frase "variar cantidades", me parece que se debe tener un mecanismo para evaluar cada lado de la ecuación. En última instancia, creo que resolver una ecuación siempre debe ser, en esencia, encontrar la preimagen de una aplicación. Si la preimagen está vacía, entonces no hay soluciones.

Considera la ecuación sobre $\mathbb{C}$: $$x^2-3x+2=0$$

Podemos ver que $x^2-3x+2$ es un polinomio y este polinomio induce un mapa natural de $\mathbb{C}$ a $\mathbb{C}$ llamado evaluación. La ecuación realmente está buscando la preimagen de $0$ de este mapa.

Considera la ecuación funcional: $$f(x+y) + f(x-y) = 0$$ donde estamos buscando soluciones que son funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$. Creo que en última instancia esta ecuación se puede pensar en términos de la preimagen del mapa $G$ que toma funciones como $f$ y las mapea a la función de dos variables de $\mathbb{R^2}$ a $\mathbb{R}$ enviando $f$ a la función de dos variables $f(x+y)+f(x-y)$. Y la ecuación realmente está buscando la preimagen de la función cero bajo este mapa.

¿Es correcto ver todas las ecuaciones de esta manera? ¿Es decir, encontrar las soluciones siempre debe ser equivalente a encontrar la preimagen de algún elemento de algún mapeo?

Piensa en ecuaciones básicas que se encuentran en libros de álgebra universitaria. Les digo a mis estudiantes que tomamos la ecuación dada y aplicamos operaciones que preservan las soluciones para transformar la ecuación en una más simple. El objetivo es terminar con una ecuación más simple cuyas soluciones podamos encontrar de un vistazo. Por ejemplo,

$$3x - 2 = 5 \implies 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3}$$

En cada paso transformamos la ecuación en una más simple cuyo conjunto de soluciones es el mismo. Podemos resolver la última ecuación de un vistazo. ¿No es esta la forma en que se resuelven todas las ecuaciones en última instancia? Transformamos la ecuación en ecuaciones más simples y terminamos con una ecuación que se puede resolver de un vistazo.

Answer 1

Las ecuaciones son objetos. Las pocas ecuaciones que conozco son subconjuntos de algo más grande:

• Una línea es un objeto y es un subconjunto de un plano 2D
• Una esfera es un objeto y es un subconjunto de un volumen 3D.

Tenga en cuenta que todos los objetos tienen una prioridad peculiar, viven en las dimensiones completas, sin ocuparlas:

• Una línea no tiene área, pero está en el espacio 2D
• Una esfera no tiene volumen pero está en el espacio 3D

Para darle a las ecuaciones un relleno, necesitas desigualdades.

Utilizas ecuaciones como abreviaturas para delimitar un conjunto infinitamente denso de puntos. que tienen la propiedad adicional:

• Existe una función que, dado cualquier punto del objeto, da el mismo resultado (existe una función f(x, y) que, dado cualquier punto de la línea, devuelve 0 y de lo contrario otro valor.

Ahora que estoy pensando en que las ecuaciones son muy misteriosas, incluso si puedo usar muchas propiedades simplemente porque me enseñaron a hacerlo en la escuela.