¿Qué es exactamente una ecuación?

Question

Me parece que una ecuación, en un sentido abstracto, siempre debe involucrar algunas cantidades variables donde las cantidades variables pertenecen a algún espacio (conjunto, estructura algebraica, lo que sea). Para hacer precisa la frase "variar cantidades", me parece que se debe tener un mecanismo para evaluar cada lado de la ecuación. En última instancia, creo que resolver una ecuación siempre debe ser, en esencia, encontrar la preimagen de una aplicación. Si la preimagen está vacía, entonces no hay soluciones.

Considera la ecuación sobre $\mathbb{C}$: $$x^2-3x+2=0$$

Podemos ver que $x^2-3x+2$ es un polinomio y este polinomio induce un mapa natural de $\mathbb{C}$ a $\mathbb{C}$ llamado evaluación. La ecuación realmente está buscando la preimagen de $0$ de este mapa.

Considera la ecuación funcional: $$f(x+y) + f(x-y) = 0$$ donde estamos buscando soluciones que son funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$. Creo que en última instancia esta ecuación se puede pensar en términos de la preimagen del mapa $G$ que toma funciones como $f$ y las mapea a la función de dos variables de $\mathbb{R^2}$ a $\mathbb{R}$ enviando $f$ a la función de dos variables $f(x+y)+f(x-y)$. Y la ecuación realmente está buscando la preimagen de la función cero bajo este mapa.

¿Es correcto ver todas las ecuaciones de esta manera? ¿Es decir, encontrar las soluciones siempre debe ser equivalente a encontrar la preimagen de algún elemento de algún mapeo?

Piensa en ecuaciones básicas que se encuentran en libros de álgebra universitaria. Les digo a mis estudiantes que tomamos la ecuación dada y aplicamos operaciones que preservan las soluciones para transformar la ecuación en una más simple. El objetivo es terminar con una ecuación más simple cuyas soluciones podamos encontrar de un vistazo. Por ejemplo,

$$3x - 2 = 5 \implies 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3}$$

En cada paso transformamos la ecuación en una más simple cuyo conjunto de soluciones es el mismo. Podemos resolver la última ecuación de un vistazo. ¿No es esta la forma en que se resuelven todas las ecuaciones en última instancia? Transformamos la ecuación en ecuaciones más simples y terminamos con una ecuación que se puede resolver de un vistazo.

Answer 1

Un enfoque: Una ecuación es un predicado, $P(x)$, de la forma $s(x) = t(x)$ donde $x$ es una variable libre (o vector de variables libres) y $s(x), t(x)$ son términos -- expresiones que evalúan a elementos del universo (por ejemplo, números reales si estás haciendo matemáticas sobre los reales) cuando se sustituyen valores por variables. Esto significa que $P(x)$ es algo que evalúa a $verdadero$ o $falso$ cuando $x$ es reemplazado por miembros del universo. En el caso de una variable se puede pensar como una función de la forma

$$P(x): U \mapsto \{verdadero, falso\}$$

donde $U$ es el dominio de discurso.

Resolver una ecuación es determinar $P^{-1}(verdadero)$, el conjunto de todos los valores que hacen que el predicado sea verdadero.

Answer 2

Respuesta breve que toca los conceptos fundamentales y la notación.

Los matemáticos utilizan ecuaciones para decirles a sus lectores que dos expresiones (las cosas a cada lado del signo $=$) son en realidad dos nombres diferentes para el mismo objeto subyacente. Pero hay contextos en los que ese significado simple se puede perder o olvidar.

En la escuela primaria, a los niños (y maestros) les incomoda escribir $$ 3 = 1 + 2 $$ porque quieren pensar en el $+$ y $=$ como operaciones, análogas a los botones en una calculadora, por lo que quieren leerlos solo de izquierda a derecha.

En álgebra básica, la ecuación $$ 3x + 2 = 8 $$ se supone que se "resuelve". Es decir, debes encontrar los valores de la variable $x$ que hacen que los dos lados de esa ecuación representen el mismo número, es decir $8$. Las reglas que dicen que puedes "hacer lo mismo a ambos lados" esencialmente preservan el hecho de que los dos lados continúan nombrando el mismo objeto.

Si todas las $x$ están en el mismo lado de la ecuación, puedes (pero no necesitas) pensar en esto como pedir las preimágenes del otro lado bajo el mapa dado.

Más adelante, cuando te encuentras con $$ f(x) = x^2 $$ puedes confundirte porque no hay nada que "resolver". Esta ecuación nos dice que usaremos "$f$" para nombrar la función cuadrática.

Cuando te encuentres con una "ecuación funcional" como $$ f(x+y) = f(x) + f(y) $$ puedes intentar resolverlo: encontrar todos los "valores" para la función $f$ que hacen que la ecuación sea verdadera (para cada $x$ e $y$). En este caso (asumiendo continuidad u alguna otra regularidad débil) la respuesta es $$ f(x) = cx \quad \text{para alguna constante } c $$ pero no puedes llegar a esa conclusión solo transformando

la ecuación a ecuación(es) más simple(s) y terminar con una ecuación que pueda ser resuelta por inspección.

En todos estos casos, la igualdad te dice que dos cosas son realmente iguales. Lo que haces con esa información depende del contexto.

Answer 3

El universo de ecuaciones no tiene una semántica uniforme.

Las ecuaciones pueden ser tautologías. $$ 1=1, x+x=2x, \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{e}^x = \mathrm{e}^x, \dots$$

Las ecuaciones pueden ser definiciones explícitas. $$ f(x) = f(f(x-1)), \\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h}, \dots $$

Las ecuaciones pueden ser especificaciones implícitas. Parece ser el único tipo de ecuaciones del que estás hablando. $$ 8x+7 = 15, x^5+x-1 = 0, 0 = \int_{\Omega}f \cdot g^* \,\mathrm{d}\mu, \dots $$

Estas semánticas pueden estar anidadas. $$ f''(x) = - f(x), \mathrm{Tor}_n^R(A,B) = (L_nT)(A), \dots $$

Frecuentemente, estas ecuaciones están (implícitamente) aumentadas al especificar los conjuntos de los cuales pueden provenir las variables. Por ejemplo, \begin{align*} g &\in \{\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\}, \\ U &\subset \mathrm{dom}(g), \\ m(U) &> 0, \\ H_0(U; \mathbb{Z}) &= \mathbb{Z}, \\ x &\in \mathrm{int}(U), \\ h &\in \mathbb{R}, \text{[nota al pie]} \\ x+h &\in \mathrm{dom}(g), \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \end{align*} Cambiar estas especificaciones puede alterar lo que la ecuación final denote, si es que denota algo.

[nota al pie]: Hay un abuso notacional aquí. "$h$" solo aparece como una variable dummy en el límite -- se expande a secuencias infinitas. Realmente queremos decir que cada elemento de dicha secuencia es real y cuando le sumas $x$ a cualquiera de ellos, aún aterrizas en el dominio de $g$. Esto es (en cierto sentido) realmente un defecto de nuestra notación habitual para los límites que no llegamos a especificar el conjunto del cual se extraen las secuencias. Algunos escribirían estas dos condiciones con el "$h \rightarrow 0$", pero esto no cambia que estas restricciones realmente se aplican a los diversos $h_i$.

Answer 4

Creo que la mayoría de estas respuestas son demasiado complicadas. La respuesta simple a la pregunta simple:

Una ecuación es la afirmación de que dos cosas son iguales

"igual", "iguar", "igualdad" y "ecuación" son diferentes formas de la misma palabra.

En matemáticas, el signo "=" se coloca entre dos cosas que se dice que son, o se requiere que sean, iguales.

Una fórmula es un tipo especial de ecuación que recordamos para resolver un problema sin tener que empezar siempre desde cero.

Un ejemplo sencillo:

Distancia recorrida a velocidad uniforme = la velocidad multiplicada por el tiempo tomado

Usando símbolos, podríamos escribir esto como d=st

Answer 5

La ecuación "=" puede ser simplemente un operador binario, como "+"

Una respuesta es simplemente decir que "=" como se usa en ecuaciones es simplemente otro operador binario, como "+", y que hay múltiples ideas que actualmente usamos "=" cuando no deberíamos.

El signo igual permite que la mayoría de los operadores se distribuyan, conmuten, se asocien sobre él. Cuando dos cosas son iguales, simplemente puedes tomar el lado izquierdo o derecho de ello (para cancelar el otro lado). Esa es una definición de igualdad, y es una forma de implementar la resolución de ecuaciones mecánicamente. Cuando puedas escribir una implementación de resolución de ecuaciones, entonces puedes decir que se entiende bien qué es.

(X = 5)

Con un operador de reducción como "=>" podemos reducir en una dirección.

(X = 5) => X
(X = 5) => (5 = X) => 5

Sugiero que intentes escribir un manipulador interactivo de ecuaciones en un lenguaje de programación real (es decir: JavaScript). Será realmente revelador lo terriblemente ambigua que es la uso normal.

Hay un operador binario de igualdad, un operador que afirma que una cosa puede reducirse en ambas direcciones, lo cual es diferente de uno que puede reducirse en solo una dirección.

Supongamos que usamos "=" como el operador binario, pero "==" para la regla de reescritura bidireccional:

\# Cada nueva línea no sangrada es una suposición
# Estos son números. Cada línea es un operador Y implícito
# es decir:  A y B y C y No(B = 0) y (A / B) ...
A
B
C
# Los números pueden dividirse. Ten en cuenta que debemos
# hacer una suposición sobre B antes de poder formar (A / B)
Not(B = 0)
(A / B) ==
  # ... lo mismo que Inv(B)
  (A \* Inv(B))
# ... igualado
((A \* Inv(B)) = C)
# ... o multiplicado
(((A \* Inv(B)) = C) \* B) ==
  # ... distribuido a la derecha con el mismo valor
  (((A \* Inv(B)) \* B) = (C \* B)) ==
  # ... el lado izquierdo del operador puede asociarse a la derecha
  ((A \* (Inv(B) \* B)) = (C \* B)) ==
  # .. cancelar inversos en el lado izquierdo derecho
  ((A \* 1) = (C \* B))
  # .. cancelar la multiplicación por 1 a la izquierda
  (A = (C \* B))

Incluso puedes tratar cosas como declaraciones de tipo como operadores binarios:

(a : Entero)

Cuando escribimos cosas en papel en notación estándar, hay mucha ambigüedad debido a la sobrecarga del signo igual. La notación estándar también viola la mayoría de las heurísticas sobre cómo hacer un buen lenguaje de programación; por eso todavía estás haciendo manipulaciones en papel. Esto tiene la gran desventaja de reescribir constantemente toda la ecuación una y otra vez en formas ligeramente modificadas. También es imposible arbitrar o seguir automáticamente las manipulaciones algebraicas a menos que sea un lenguaje formal que se pueda escribir con fluidez.

La notación estándar es particularmente desordenada con situaciones de ramificación. Puedes declarar un valor que se eleva al cuadrado para x....

(nsqrt\[x\] = (-1 \* sqrt\[x\]))

((sqrt\[x\] \* sqrt\[x\]) = x) ==
  ((1 \* sqrt\[x\] \* sqrt\[x\]) = x) ==
  ((-1 \* -1 \* sqrt\[x\] \* sqrt\[x\]) = x) ==
  ((-1 \* sqrt\[x\] \* -1 \* sqrt\[x\]) = x) ==
  (((-1 \* sqrt\[x\]) \* (-1 \* sqrt\[x\])) = x) ==
  (((nsqrt\[x\]=(-1 \* sqrt\[x\])) \* (nsqrt\[x\]=(-1 \* sqrt\[x\]))) = x) ==
  (nsqrt\[x\] \* nsqrt\[x\] = x) ==

Entonces, de alguna manera, el uso de ecuaciones funciona porque hay una máquina implícita que estamos aproximando (en el sentido del conjunto de instrucciones de Máquina Virtual de la informática). Me encantaría tener un lenguaje de ecuaciones estándar que se pueda escribir fácilmente en una computadora y manipular libremente con el propósito de hacer un seguimiento del trabajo, pero SIN hacer ningún cálculo numérico o hacer suposiciones (como la conmutatividad) por ti. Solo pasos de reducción primitivos, con una pila mantenida para que puedas liberarte de la tediosa tarea de copiar y manipular ecuaciones interminablemente sin ninguna verificación mecánica.