Suponemos que para cada $\,f\in C(X,\mathbb K)$, la serie $\sum_{n\in\mathbb N}\lambda_n\,f(x_n)$ converge.
Definir
$$
T_n: C(X,\mathbb K)\to\mathbb K,\quad\text{como}\quad T_n(\,f)=\sum_{k=1}^n\lambda_k\,f(x_k).
$$
Claramente, el $T_n$'s son lineales funcionales. También, para cada $\,f\in C(X,\mathbb K)$, la secuencia de $\,T_n(\,f)$ converge en $\mathbb K$, y por lo tanto
$$
\sup_n \lvert T_n(\,f)\rvert<\infty.
$$
Por lo tanto, en virtud de la Acotamiento Uniforme Principio,
$$
\sup_{n}\|T_n\|<\infty.
$$
Ahora, queda por demostrar que
$$
\|T_n\|=\sum_{k=1}^n\lvert\lambda_k\rvert.
$$
El "$\le$" parte de lo anterior es directa. Decir ahora que $\lambda_n=w_n\lvert\lambda_n\rvert$,$\lvert w_n\rvert=1$. Vamos a mostrar que existe una $f_n\in C(X,\mathbb K)$,$f(x_i)=w_i$$i=1,\ldots,n$. Como $X$$T_2$, entonces no existe $U_1,\ldots,U_n$, abierto y discontinuo barrios de $x_1,\ldots,x_n$, respectivamente. Como $X$ es compacto y Hausdorff, también es completamente regular, y por lo tanto, es posible, por $i=1,\ldots,n$, para definir
$$
g_i :X\to\mathbb R,
$$
tal que $g_i(x_i)=1$, $0\le g_i(x)\le 1$, para todos los $x\in X$$g_i(x)=0$$x\in X\setminus U_i$.
Luego la buscó $f_n$ puede ser definido como:$f_n=\sum_{i=1}^n w_ig_i$. Claramente, $\|f_n\|=1$, e $T_n(f_n)=\sum_{i=1}^n\lvert f_i(x_i)\rvert=\sum_{i=1}^n\lvert \lambda_i\rvert$. Así hemos terminado con la "$\le$".
