Demostrar el teorema de geometría analítica en la imagen.

Question

He descubierto este elegante teorema en mi facebook feed. ¿Alguien tiene alguna idea de cómo probar?

Las formulaciones de este teorema se puede encontrar en las respuestas y los comentarios. Usted es bienvenido a unirse a la discusión.

Editar: El progreso actual: El teorema está demostrado. Hay un límite a la curvatura ser satisfechos antes de que el teorema puede contener.

Algunos problemas sin resolver y un poco de alimento para el pensamiento:

(1) la Formalización de la definición (construcción) del paralelo de la curva en el caso de curvas cóncavas. A partir de entonces, considerar si este teorema es verdadero en virtud de esta definición, donde la cerrada curva suave está formado por cóncavas y convexas curvas enlazadas de forma alternativa.

(2) Reafirmar la parte superior de bonos de $r$ propuestos, es decir, $r=\rho$, donde $\rho$ es el radio de la curvatura, para evitar la auto-intersección.

(3) ¿Cuál es el mínimo de la identidad de las curvas en el fin de este teorema para ser verdad? Esto es similar a la primera parte de la pregunta (1).

(4) esta prueba Puede ser más generalizado? Por ejemplo, ¿qué pasa si este es el teorema extendido en las dimensiones superiores? (¿Hay alguna analogía en las dimensiones superiores?)

También, me gustaría llamar su atención hacia algunos de los nuevos respuestas publicadas.

Mientras tanto, cualquier enfoque alternativo o prueba se anima. Por favor, no dude en proporcionar cualquier reflexiones o comentarios en seguir el progreso de esta pregunta.

Answer 1

Considerar el pentágono irregular arriba. He dibujado tan bien como la "versión extendida", con líneas que conectan los dos. Observe que el perímetro de la versión extendida es la misma que la original, salvo por varios arcos - arcos que se encajan, cuando se traduce, para formar un círculo perfecto! Por lo tanto, la diferencia en longitud entre los dos es la circunferencia del círculo, $2\pi r$.

De cualquier forma convexa se puede aproximar así como uno de los deseos de polígonos convexos. Por lo tanto, tomando límites en (tienes que tener cuidado aquí, pero funciona), funciona para cualquier convexidad.

Voy a volver a usted en el cóncavo caso, pero aún debe funcionar. EDIT: no estoy seguro de que no... de EDICIÓN EDIT: Ah, el problema con mi supuesto contraejemplo - el triomino - es que el vértice cóncavo fue de más de $r$, lejos de cualquier punto en su versión extendida. Si la ronda de triomino en ese vértice, funciona de nuevo. TL;DR, funciona para las formas cóncavas siempre y cuando no haya "pliegues."

Answer 2

Deje que $\beta: I \rightarrow \mathbb{R^2}, I \subconjunto \mathbb{R}$ ser una orientación positiva plano de la curva parametrizada por longitud de arco.

Ahora tenga en cuenta que $\alpha$ es construido por el movimiento de cada punto en $\beta$ una distancia de $r$ a lo largo de su unidad de vector normal. Podemos articular esto con más precisión:

Desde $\beta$ es param. por longitud de arco, por definición, su (unidad) vector tangente $\beta =t_\beta$ tiene una norma de $1$ es decir, $t_\beta . t_\beta = 1$. Diferenciar este producto interior utilizando la regla del producto para ver que $2t_\beta . t'_\beta = 0$. Uno deduce que $t'_\beta \asesino t$ y desde $\beta$ es de orientación positiva, es evidente que $\beta"=t'_\beta$ es exactamente afuera del vector normal de $\beta$ - debemos normalizar esto para obtener la unidad normal. Hacerlo utilizando la Serret-Frenet relación en el plano (es decir, 'de torsión', $\tau$ desaparece) $\beta=\kappa n_\beta$ (donde $\kappa$ es el firmado plano de curvatura en cualquier punto dado), y por lo que $n_\beta=\frac{\beta}{\kappa}$.

Así,

$$ \alpha = \beta + r\frac{\beta}{\kappa} = \beta + n_\beta \ \ \ (*) $$

La longitud de arco de una parte del espacio de la curva de $\gamma:(a,b)\rightarrow \mathbb{R^n}$ parametrizada por longitud de arco está dada por,

$$ \int^b_a ||\gamma'(s)||\,ds $$

(donde $s$ es el parametrisation variable)

Deje de $l_\alpha$ y $l_\beta$ denotan las respectivas longitudes de $\alpha$ y $\beta$. Queremos demostrar que $l_\alpha - l_\beta=2\pi r$

El cómputo de la correspondiente integral utilizando ($*$) (yo no te molestes escribiendo explícitamente los límites, ya que estos no son importantes para nosotros aquí) y escribir $\beta:= \beta(s)$ (que a su vez, induce $\alpha=\alpha(s))$,

$$ l_\alpha - l_\beta= \int ||\alpha'||\,ds - \int ||\beta'||\,ds = \int \left(||\beta' + n'_\beta|| - ||\beta'||\right)\,ds\ \ \ \ (**) $$

Recordemos que $\beta=t_\beta$.Debemos determinar la naturaleza de $n'_\beta$ en el fin de proceder:

Definir la función escalar $\theta(s)$ como la inclinación de $t_\beta(s) de dólares a la horizontal. Entonces podemos escribir $t_\beta(s)=(\cos\theta(s),\sin\theta(s))$, entonces $n_\beta=(-\sin\theta(s),\cos\theta(s))$ por la aplicación de la matriz de rotación a través de $\pi/2$. Esto nos da,

$$ n'_\beta(s)=-\theta'(s)t_\beta(s) $$

Podemos dejar de sudar ahora ya podemos ver que $n'_\beta$ es paralelo a $\beta$ - y que hace todo bastante limpio. Conectar todo esto en ($**$) y recordando que, en $||t_\beta||=1$,

$$ l_\alpha - l_\beta= \int \left(||t_\beta -r\theta't_\beta|| - ||t_\beta||\right)\,ds = \int \left(||t_\beta||.||1-r\theta'-1||\right)\,ds = \int \left(||-r\theta'||\right)\,ds$$

Y por último,

$$ l_\alpha-l_\beta = \int \left(||-r\theta'||\right)\,ds= r \int \left(||\theta'||\right)\,ds=2\pi r $$

Q. E. D

Dato divertido: $\theta'(s)$ es exactamente $\kappa(s) de dólares, la firma plano de curvatura (de Serret-Frenet relación $t'=\kappa$ n para curvas en el espacio dado de torsión $\tau$ desaparece) y para el final de la integral es a menudo visto como $\int \kappa(s)ds$, que es una cantidad llamada el total de la curvatura!

Con la salvedad de que Uno debe asumir la diferenciabilidad en el interior de la curva - tenga en cuenta que el resultado de la falla de polígonos o cuando vértices dados. Además, en el caso especial de las curvas cóncavas (donde el resultado inicial de $l_\alpha=l_\beta+2\pi r$ no siempre) se discute en los comentarios de abajo - esto no es demasiado difícil de manejar con una restricción de $r$ (a pesar de que no tenemos que aplicar esta restricción si el auto-intersecciones están permitidos; si de hecho están permitidos, la prueba seguirá el trabajo!) y modificado el cálculo del total de la curvatura.

Answer 3

Considere la posibilidad de:

La diferencia en la duración de $2{\pi}r$ es obvio, por $2{\pi}(a+r)-2{\pi}{un}=2{\pi}r$. Ahora dicen que nos pizca tanto en los círculos al mismo tiempo a la misma extensión, causando dos puntos para viajar el mismo desplazamiento. Si viajan el mismo desplazamiento de los puntos de separación de $r$ todavía estará allí. Podemos pellizcar los círculos muchas veces, y haciendo que podemos terminar con tus formas.

Answer 4

Para el cóncavo caso, el detalle principal es que el paralelo de la curva realmente es paralelo en un sentido muy específico, que apoya las líneas rectas que dibujé en el diagrama de abajo. El Frenet-Serret marco en el plano es de solo $\dot{x}= T,$ entonces $\dot{T}= \kappa N,$ entonces $\dot{N}= - \kappa T.$ Como resultado de ello, si tenemos, como en el do Carmo, $w = x - \epsilon N,$ entonces $\dot{w }= T + \epsilon \kappa T$ es múltiplo de $T.$ Oh, para obtener el paralelo de la curva de niza, todo lo que necesitamos es un obligado en $\epsilon$ en términos del radio de curvatura cóncava partes; siendo el valor absoluto de la recíproca de la curvatura. He añadido un diagrama, que muestra, en la medición de un ángulo $\alpha$ cuando la curva cumple con la delimitación de los rayos del ángulo ortogonal, la integral de la curvatura de la curva original es de solo $\alpha$ sí misma. Por lo tanto, la longitud de la parte de los paralelos de la curva, que es de $\int (1 + \epsilon \kappa) ds,$ es $L_1 + \epsilon \alpha$, donde $L_1$ es la longitud en el ángulo.

Así, para el caso representado, donde la curvatura es cero en un número finito (y aun!!) número de puntos, realmente necesitamos sólo una modificación de la original (convexo) resultado ya que se aplica a un par de paralelo de las curvas tomadas en el ángulo entre dos líneas. La contabilidad para esto, por cierto, es mucho más que el de Gauss-Bonnet Teorema del plano; ya que la superficie de la curvatura del plano es de $0,$ Gauss-Bonnet simplemente nos dice que el arco de longitud integral de la curvatura. GB permite también muy bien para las discontinuidades de la curvatura, como en un polígono.

Oh: en un ángulo $\alpha$ la curva que es "exterior" con respecto al vértice del ángulo, marcado en verde, de distancia, de $\epsilon$ aparte, no debería ser más de $2 \pi \epsilon$ más, debería ser de $\alpha \epsilon$ más. Así que la diferencia debe ser sólo un alternando suma, se puede sacar la constante $\epsilon,$ nos quedamos con una corriente alterna de la suma de los ángulos de ese total, hasta un bobinado número de uno, dando $2 \pi$ este nuevo ser Gauss Capó del avión.

Esto es bueno: por la forma en que me sacó la foto, $$ \color{blue}{\beta + \delta \alpha \gamma = 2 \pi}. $$

A continuación, un diagrama que muestra que realmente podemos calcular $\int_\beta \kappa ds$ para un arco dentro de un determinado ángulo, la principal restricción de que la curva se cumple tanto los rayos delimitador el ángulo ortogonal. También me dibujó en una letra mayúscula C, que muestra cómo un paralelo de la curva puede desarrollar la auto intersecciones a pesar de la distancia entre las curvas de ser pequeño. La fuente es Manfredo P. do Carmo, la Geometría Diferencial de Curvas y Superficies, sección 4-5 en El de Gauss-Bonnet Teorema y sus Aplicaciones, especialmente el Teorema de Giro de las Tangentes en la página 267 y Gauss-Bonnet (Local) en las páginas 268-269. Noe que en nuestro caso, el plano, tiene $K=0.$

El diagrama anterior fue de $\alpha < \pi.$ Es bastante fácil dibujar imágenes para que un mayor ángulo se necesita, tales como el capital de la letra C del dibujo. Así, puedo incluir un croquis de Gauss Capó donde $\alpha > \pi.$ Funciona muy bien.

Answer 5

Hay cuatro secciones. El teorema, la intuición, una prueba, y la discusión.

Teorema de

El teorema de ser

La longitud de una curva cerrada que $A$ es igual a la longitud de $B+2\pi r$ si hay una correspondencia uno a uno entre el vector normal de las intersecciones. En otras palabras, todos los vectores normales de la curva $B$, la cual está contenida en $Un$, se cruzan en un punto en $Un$. La primera parte de la $$ que se cruza, se denota $A_i$. La unidad normal de $A_i$ también se cruza con un punto de $B$ denota $B_i$. Hay un uno a uno corresponsal de entre $A_i$ y $B_i$. Si la longitud de todos los vectores de una arbitraria $A_i$ $B_i$ son iguales a un valor de $r$,

$$L(A)=L(B)+2\pi r$$

A y B también debe ser cerrado y diferenciable.

La intuición

Esto es fácil de demostrar para el caso de $r=0$ ya $A=B$ debe de ser verdad. También vale la pena señalar que las curvas a y B puede ser estirado o se transforman en círculos, con invariantes de los perímetros y invariante r, una función $F(X)$. Imaginar el estiramiento de las curvas en la parte superior de la imagen en los círculos si no tiene claro a lo que me refería. Este trivialmente demuestra el teorema, si la existencia de tal función está demostrado. En general, esto está garantizado por la diferenciabilidad de las curvas y por la propiedad de que están cerrados. La invariancia de r puede ser demostrado por el original de la hipótesis I, presentada por el Teorema de

Esto sale en la búsqueda de la imagen, podría ser digno de un correo electrónico.

Prueba

Sea a un círculo de radio $r_a$ centrada en el origen. Denotamos por $F(A)$ la transformación a la que se asigna Una a una subsanables en la curva. Esta curva de $A_0$ tiene un único valor de la distancia al origen de cada uno de los ángulos de $\theta$ denotado por $r_{a0}$. Vamos, el perímetro de Un ser invariantes bajo F.

Deje que B es un círculo de radio $r_b$ centrada en el origen. Denotamos por $F(B)$ la transformación que se asigna a un subsanables en la curva. Esta curva de $B_0$ tiene un único valor de la distancia al origen de cada uno de los ángulos de $\theta$ denotado por $r_{b0}$. Deje que el perímetro de B ser invariantes bajo F.

En general, F es una asignación de espacio $\mathbf(R)^2 \rightarrow \mathbf(R)^2$ que un círculo $Q_z$ de radio z y longitud $L(Q_z)$, bajo F asigna a $Q_{z0}$ con $L(Q_z)=L(Q_{z0})$. Para cada ángulo $\theta$, $Q_{z0}(\theta)=\lambda \cdot P$ donde $\lambda$ es un vector arbitrario. Imponemos que el valor absoluto de $\lambda$ ser contsant. Ya que la función $\lambda$ es arbitraria y $| \lambda |$ es constante, el perímetro de la forma resultante puede ser igual a la original. Esto significa que F es homogénea como $F(k \cdot B)=k \cdot F(B)$.

$A_0$ y $B_0$ puede ser parametrizadas por $x_a(\theta)$; $y_a(\theta)$ y $x_b(\theta)$; $y_b(\theta)$ desde la distancia Euclidiana en $\theta$ es un único valor.

Dada F(B), F(A) puede ser construido de la siguiente manera. Extender un vector normal de longitud $r_a-r_b$, del costado abierto de F(B). F(a) es el final de este vector. Dado que $F(B)$ y $F(A)$ son funciones de $\theta$, $A_0(\theta)$ es el punto final del vector normal extendida de $B_0(\theta)$. Este procedimiento se realiza para todos los $\theta \en (0,2\pi$. Si dos vectores normales extensiones de $F(B)$ cruzan, no hay $F(A)$ que es no-auto-intersección.

El perímetro de $F(A)$ es igual al perímetro de A.

Prueba: Puesto que $A$ es un escalar varias $e$ de distancia desde $B$, ya que ambos círculos.

$$e \cdot B=a$$

Debido a que F es homogénea,

$$e \cdot B_0=A_0$$

Además,

$$e \cdot L(B)=L(A)$$

Del mismo modo,

$$e \cdot L(B_0)=L(A_0)$$

Por definición, $L(B)=L(B_0)$, por lo tanto

$$L(A_0)=e \cdot L(B_0)=e \cdot L(B)=L(A)$$

La construcción de $F(A)$ a partir de un determinado $F(B)$ es completa.

$$L(A)=L(B)+2 \pi r$$

Donde $L(A)$ es el perímetro de A. Esto es a partir de la fórmula de $C=2 \pi r$. $A_0$ y $B_0$ tienen el mismo perímetro de $A$ y $B$, respectivamente.

Por lo tanto,

$$L(A_0)=L(B_0)+2\pi r$$

QED

Discusión

Esto no cubre todos los casos. Por ejemplo, el teorema de sólo funciona si la curvatura es pequeña en comparación con el diferencial de $r$.

Matemáticamente yo conjetura,

$$r \lt -min(1/\kappa(\theta))$$

Donde $\kappa$, denota el radio de curvatura debe ser para el teorema de mantener.

Supongo que esto no puede ser generalizado de distancia.