Limitado en la función generadora de momentos

Question

Sean $X$ e $Y$ variables aleatorias discretas. ¿Existe una clase conocida de distribuciones conjuntas $p(x,y)$ que cumpla la siguiente propiedad?

$$\mathbb{E}\left[ e^{\lambda X} e^{\lambda Y} \right]< \mathbb{E}\left[ e^{\lambda X} \right]\mathbb{E}\left[ e^{\lambda Y} \right]$$ para algún $\lambda>0$?

Answer 1

Supongamos que $X, W$ son independientes, $X$ tiene varianza distinta de cero, y $Y=W-X$. Entonces $$ E[e^{\lambda X} e^{\lambda Y}] < E[e^{\lambda X}] E[e^{\lambda Y}] \quad \forall \lambda >0$$ Esto se debe a que (por la desigualdad de Jensen) : \begin{align} E[e^{\lambda X}] &> e^{\lambda E[X]}\\ E[e^{\lambda Y}] &= E[e^{\lambda W}]E[e^{-\lambda X}] > E[e^{\lambda W}]e^{-\lambda E[X]} \end{align} y así (ya que los lados derechos de las desigualdades anteriores son positivos): $$ E[e^{\lambda X}]E[e^{\lambda Y}] > E[e^{\lambda W}] = E[e^{\lambda (X+Y)}]$$