¿Cuál es el error en mi respuesta: $h(x, y) = \begin{cases} \frac{x\ln(1+x^3)}{y(x^2+y^2)} \colon (x, y) \ne (0,0) \\ 0 \colon (x, y) = (0,0) \end{cases}$

Question

Sea: $$h(x,y)=\begin{cases}\frac{x\ln(1+x^3)}{y(x^2+y^2)} \colon (x,y)\ne(0,0)\\0 \colon (x,y)=(0,0)\end{cases}$$

Estaba tratando de responder a esta pregunta: "¿Es la función continua en el punto $(0,0)$?" y estas son mis respuestas:

pon: $\begin{cases}x=r\cos(\theta) \\ y=r\sin(\theta)\end{cases}$

Por lo tanto: $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\ln(1+x^3)}{y(x^2+y^2)}=\lim_{r\to0} \frac{\cos(\theta)\ln(1+r^3\cos^3(\theta))}{r^2\sin(\theta)}=0$$ así que la función $h(x,y)$ es continua en el punto $(0,0)$

Pero usando wolfram alpha $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\ln(1+x^3)}{y(x^2+y^2)}$$ no existe

¿Cuál es el error al evaluar el límite? Aprecio su interés y gracias por su ayuda cada vez, este sitio es realmente útil

Answer 1

Este paso

$$\ldots=\lim_{r\to0} \frac{\cos(\theta)\ln(1+r^3\cos^3(\theta))}{r^2\sin(\theta)}=0$$

no es correcto, de hecho es cierto que $\ln(1+r^3\cos^3(\theta)) \to 0$ pero también tenemos que el denominador se acerca a cero (es decir, el límite está en la forma $\frac 0 0$).

Como ya se ha observado, el límite no existe. También podemos eliminar el $\log$ de la siguiente manera

$$\frac{x\ln(1+x^3)}{y(x^2+y^2)}=\frac{\ln(1+x^3)}{x^3}\frac{x^4}{y(x^2+y^2)}$$

con $\frac{\ln(1+x^3)}{x^3} \to 1$ pero el segundo factor es problemático, por ejemplo usando

• $x=y=t \to 0$

$$\frac{x^4}{y(x^2+y^2)}=\frac t2\to 0$$

pero

• $x=t \to 0^+$ y $y=t^3$

$$\frac{x^4}{y(x^2+y^2)}=\frac{1}{t+t^5}\to \infty$$

Answer 2

Considera la línea $y=0$, a lo largo de esta línea (eje $X$) $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\ln(1+x^3)}{y(x^2+y^2)}=D.N.E$$

Pero a lo largo del eje $Y$, $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\ln(1+x^3)}{y(x^2+y^2)}=0$$

Estos dos siguen $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}h(x,y)=D.N.E$$ Por lo tanto $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}h(x,y)\neq h(0,0)$$

En tu caso, ¿cómo sabes que $$\lim_{r\to0} \frac{\cos(\theta)\ln(1+r^3\cos^3(\theta))}{r^2\sin(\theta)}=0?$$