$a_{n}=\sqrt[n]{x^n+x^{n-1}+\ldots +x+1}$ prueba decreciente

Question

Como en el título, tengo que demostrar que $$a_{n}=\sqrt[n]{x^n+x^{n-1}+\ldots+x+1}$$ es decreciente y tiende a $x$. Mi intento fue escribirlo como $$a_{n+1}-a_{n}=\sqrt[n+1]{x^{n+1}+a_n^n}-a_{n}$$ sin embargo no ayuda. ¡Estaría muy agradecido por cualquier sugerencia, pista, etc. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Para $x>1$, observa que $$b_n:=\frac{a_n}{x}=\sqrt[n]{1+\frac{1}{x}+\cdots +\frac{1}{x^n}}$$ y el radicando converge a $\frac{1}{1-\frac{1}{x}}=\frac{x}{x-1}>0$, por lo tanto $b_n\to 1$ y $a_n\to x$.

Si $x=1$ entonces $a_n=\sqrt[n]{n}\to1$ es bien conocido.

Si $-1

En resumen:

• $a_n\to x$ si $x\ge 1$
• $a_n\to 1$ si $-1< x\le 1$.