Supongamos que $f:\mathbb{C}^n\rightarrow \mathbb{C}$ es una función $C^{\infty}$ tal que $f^2$ es analítica (complex). Entonces se puede mostrar que $f$ es analítica. (Nota: Liviu Nicolaescu y Alexandre Eremenko han dado pruebas elegantes de esto abajo; mi propia prueba involucró el teorema de preparación de Weierstrass.)
Ahora, cuando consideramos la pregunta para funciones en alguna clase Denjoy-Carleman cuasi-analítica estas pruebas no se mantienen:
Pregunta: Si $f^2$ es una función en alguna clase Denjoy-Carleman cuasi-analítica, ¿entonces $f$ es cuasi-analítica perteneciente a la misma clase?
El teorema de preparación de Weierstrass no se cumple, para $n\geq2$, en las clases Denjoy-Carleman cuasi-analíticas, y es un problema abierto si una función $C^\infty$ que pertenece a una clase Denjoy-Carleman cuasi-analítica a lo largo de cada línea pertenece a esa clase. Esta es parte de la dificultad de este problema para $n\geq2.
Otra pregunta abierta en las clases Denjoy-Carleman es sobre si los ideales están cerrados. Para ideales principales esto está relacionado con resolver para $f$ en $gf=h$, donde se sabe que $g$ y $h$ pertenecen a la clase Denjoy-Carleman. El ideal generado por $g$ no estaría cerrado si podemos encontrar un $f$ suave que no pertenezca a la clase tal que se empuje a la clase por la multiplicación por $g$. De esta manera, la pregunta anterior es sobre entender si una función suave, que no está en la clase, puede ser empujada a la clase multiplicándola consigo misma. Si el cuadrado aparece compuesto con $f$ en el otro lado entonces se sabe que ocurre. Esto es, $f(x^2)$ puede estar en una clase Denjoy-Carleman cuasi-analítica mientras $f$ no lo está.
Nota: Puse las etiquetas model-theory y o-minimal porque las personas que trabajan en esas áreas a veces también han trabajado con funciones cuasi-analíticas lo suficiente como para tal vez tener una idea para demostrarlo. La clasificación de temas en matemáticas no desempeña el mismo papel para la exposición que para encontrar pruebas.
Nota: El teorema de Joris establece que si $f^2$ y $f^3$ son funciones suaves entonces $f$ es suave. Esto es válido para funciones de varias variables. Además, para el caso quasi-analítico, en el caso de una variable, nuevamente es fácil mostrar que si $f$ es suave y $f^2$ y $f^3$ pertenecen a alguna clase Denjoy-Carlman cuasi-analítica, entonces $f$ también pertenece a la misma clase. ¡Para funciones de varias variables... ¿quién sabe!? El problema con solo $f^2$ es también un subproblema que surge al preguntar si el teorema de Joris es verdad para las clases DC cuasi-analíticas.
