Una pregunta sobre la existencia de una función continua.

Question

Sea $f$ una función continua en el intervalo $[1,2]$. Se sigue del teorema de Stone-Weierstrass que si $\displaystyle \int_1^2x^nf(x) \, dx=0$ para enteros $n=0,1,2,\ldots$, entonces $f$ debe ser idénticamente cero. Mi pregunta es,

¿Existe una función continua no nula $f$ en el intervalo $[1,2]$, y una constante positiva $M$ tal que $\displaystyle \left|\int_1^2x^nf(x)\,dx\right|\leq M$ para todos los enteros $n=0,1,2,\ldots$?

Si tal función existe, debe ser una función oscilante que alcanza tanto valores positivos como negativos. Agradezco sinceramente cualquier respuesta, comentario o sugerencia.

Answer 1

No, no existe tal función no nula $f.$

Supongamos que tenemos tal función continua $f.$ Definimos $$g(z)=\int_0^{\ln 2} e^{-itz}f(e^t)dt$$ para $z\in\mathbb C.$ Entonces:

• $g$ es una función entera de tipo exponencial a lo sumo $\ln 2,$ específicamente $g(z)\leq \|f\|_1 e^{(\mathrm{Im} z)\ln 2}\leq \|f\|_1 e^{|z|\ln 2}$
• $g(in)=\int_1^2 x^{n-1}f(x)dx$ está acotado en valor absoluto: por la suposición para $n\geq 1,$ y por la acotación de $f$ para $n\leq 1$
• $|g(r)|\leq \|f\|_1$ para $r$ real

El Teorema 2 de Cartwright "On certain integral functions of order one" (https://academic.oup.com/qjmath/article-abstract/os-7/1/46/1587148?redirectedFrom=fulltext) establece que si una función entera de tipo exponencial menor que $\pi$ está acotada en $\mathbb Z$ entonces está acotada en $\mathbb R.$ Aplicando este teorema a $z\mapsto g(iz)$ muestra que $g$ está acotado en el eje imaginario.

El principio de Phragmén–Lindelöf establece que una función de tipo exponencial (arbitrario) que está acotada en los ejes real e imaginario está acotada en todo el plano complejo.

Entonces, $g$ está acotado. Por el teorema de Liouville, $g$ es constante. Esto lleva a que $f$ sea un múltiplo no nulo del delta de Dirac $\delta_1,$ que no es una función, ni mucho menos una función continua.

Answer 2

Aquí hay algunas reflexiones, no una respuesta.

Para un polinomio $p$, dejemos que $||p||_{[1]}$ denote la suma del valor absoluto de sus coeficientes.

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Declaración: Si $\{p \text{ polinomio} : ||p||_{[1]} \le \frac{1}{2}\}$ es denso en $L^2([1,2])$, entonces no hay ninguna función distinta de cero en $L^2$ función $f$ con $|\int_1^2 x^n f(x)dx| \le 1$ para cada $n \ge 0$.

Prueba: Supongamos lo contrario; sea $f$ un contraejemplo con $||f||_2 = 1$. Entonces $|\int_1^2 p(x)f(x)dx| \le ||p||_{[1]}$ para cada polinomio $p$. Entonces, si la hipótesis de la declaración fuera cierta, podríamos tomar algún polinomio $p$ con $||p||_{[1]} \le \frac{1}{2}$ y $||f-p||_2 < \frac{1}{2}$ para obtener $1 = |\int_1^2 f(x)^2dx| \le |\int_1^2 f(x)[f(x)-p(x)]dx|+|\int_1^2 f(x)p(x)dx| \le ||f||_2||f-p||_2+||p||_{[1]} < 1$, una contradicción.

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No estoy seguro si $\{p \text{ polinomio} : ||p||_{[1]} \le \frac{1}{2}\}$ es denso en $L^2([1,2])$. Ni siquiera estoy seguro de si la función constante $1$ está en la cerradura.

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Aquí hay algunas reflexiones para intentar demostrar que no hay tal $f$ en el álgebra de Wiener (definida a continuación).

Multiplicando $f$ por $x-1$, podemos suponer que $f(1) = 0$. Por lo tanto, dado que obviamente $f(2) = 0$, $f$ es $1$-periódica. Por lo tanto, la transformada de Fourier $\hat{f}(k) := \int_1^2 f(x)e^{-2\pi i kx}dx$ es significativa, por ejemplo, obtenemos $f(x) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \hat{f}(k)e^{2\pi ikx}$. Si $f$ está en el álgebra de Wiener, es decir, si $\sum_{k \in \mathbb{Z}} |\hat{f}(k)| < \infty$, la condición $|\int_1^2 x^n f(x)dx| \le 1$ para todo $n \ge 0$ se traduce en $|\sum_{k \in \mathbb{Z}} \hat{f}(k)I_{n,k}| \le 1$ para todo $n \ge 0$, donde $I_{n,k} = \int_1^2 x^ne^{2\pi i kx}dx$ (necesitábamos $\sum_{k \in \mathbb{Z}} |\hat{f}(k)|$ para intercambiar la integral y la serie).

Aquí es donde me estoy saliendo un poco de mi área. No estoy seguro si hay alguna matriz $(B_{k,n})_{\substack{k \in \mathbb{Z} \\ n \ge 0}}$ tal que $(B_{k,n})(I_{n,k}) = Id$, es decir, $\sum_{n \ge 0} B_{k,n}I_{n,k'} = \delta_{k=k'}$. Si es así, entonces para refutar la existencia de $(\hat{f}(k))_{k \in \mathbb{Z}} \in l^1(\mathbb{Z})$ con $|\sum_{k \in \mathbb{Z}} \hat{f}(k)I_{n,k}| \le 1$ para cada $n \ge 0$, basta con mostrar que siempre que $(a_n)_{n \ge 0}$ pertenezca a $[-1,1]^{n \ge 1}$, se cumple que $(B_{k,n})(a_n) \not \in l^1(\mathbb{Z})$.

Entonces, ¿alguien sabe cómo invertir la matriz $(\int_1^2 x^n e^{2\pi i kn}dx)_{\substack{n \ge 0 \\ k \in \mathbb{Z}}}$, si es posible?