Soluciones enteras para $|x_1|+|x_2|+...+|x_n| = m$

Question

Buscando el número de soluciones enteras para $|x_1|+|x_2|+...+|x_n| = m$

Las estrellas y las barras pueden dar fácilmente el número de soluciones positivas o incluso no negativas, pero el número total de soluciones contabilizando las soluciones positivas y negativas se está volviendo más difícil para mí.

Answer 1

Las estrellas y las barras dan que hay $\binom{n}{k}\binom{m-1}{k-1}$ soluciones donde $k$ números son positivos, y el resto son cero. Cada una de estas da lugar a $2^k$ soluciones enteras. Por lo tanto, el número total de soluciones es $$ \sum_{k=1}^n2^k\binom{n}{k}\binom{m-1}{k-1} $$ No sé si hay una forma cerrada de esto, aunque intentaré encontrar una si tengo tiempo.