¿Cuál es la intuición detrás del lema del ping-pong?

Question

¿Es el lema del ping-pong una caracterización difícil de los grupos libres? ¿O soy solo yo? ¿Alguien tiene una intuición clara sobre su idea o debería seguir mirando la afirmación?

Answer 1

Soy un extranjero, así que quizás lo que estoy diciendo sea tonto. Solo estaría pensando en la aplicación alternativa de Tits ya que realmente brinda toda la intuición. Para aplicarlo---y solo vamos a ver el caso complejo---debes producir dos matrices $A$ y $B$ que tengan las siguientes propiedades. $A$ tiene un eigenvalor dominante $\lambda$ (es decir, el espacio propio de $A-\lambda I$ es unidimensional y todos los otros eigenvalores de $A$ tienen módulo estrictamente menor que $|\lambda|$) con el eigenvector correspondiente $v$ y $A^{-1}$ tiene un eigenvalor dominante $\mu$ con el eigenvector correspondiente $w$. Del mismo modo, supongamos que $B$ y $B^{-1}$ tienen estos eigenvectores dominantes con los eigenvectores correspondientes $v'$ y $w'$.

Luego, si consideramos $v,w,v',w'$ como puntos en el espacio proyectivo, las hipótesis de los eigenvalores dominantes dicen que existen vecindades abiertas disjuntas de $v,w,v',w$, digamos $U_v, U_w, U_{v'}, U_{w'}$ tales que hay algún $N$ tal que para $n\ge N$ tenemos: $A^n$ mapea cada una de estas vecindades en $U_v$, $A^{-n}$ mapea todas estas vecindades en $U_{w}$, $B^n$ mapea cada una de estas vecindades en $U_{v'}$, y $B^{-n}$ mapea todas estas vecindades en $U_{w'}$.

Ahora lo pienso como si fuera una máquina de estados finitos con cuatro estados etiquetados $U_v, U_w, U_{v'}, U_{w'}$ y un alfabeto $A^N, A^{-N}, B^N, B^{-N}$ con transiciones como se describió antes; por ejemplo, si estás en el estado $U_w$ y lees $A^N$ entonces pasas al estado $U_v$ (y leeremos las palabras de derecha a izquierda).

Ahora puedes ver que el grupo generado por $A^N$ y $B^N$ es libre ya que si las palabras $W$ y $W'$ en $A^N, A^{-N}, B^N, B^{-N}$ son las mismas entonces cuando dejamos que $W$ actúe en $U_v$ la enviará a $U_v$ si y solo si la primera letra de $W$ es $A^N$; a $U_w$ si la primera letra de $W$ es $A^{-N}$, etc. Así que vemos que si $W=W'$ entonces las primeras letras de $W$ y $W'$ deben ser iguales. Ahora cancelamos y seguimos adelante. Bueno, tal vez esto no es lo que querías, pero hice mi mejor esfuerzo y tal vez ambos estemos mejor por esto. Palin out.

Answer 2

La idea básica es muy simple y agradable. Supongamos que $A$ y $B$ son matrices, o más generalmente mapas, tales que $Av$ y $Bw$ son diferentes para todo $v$ y $w$. La intuición es que $A$ mapea en una dirección y $B$ en la otra ($v$ y $w$ siendo bolas cruzando la "mesa de ping-pong").

Ahora supongamos que tienes dos palabras en $A$ y $B$ que son iguales, digamos $$ABBABA=AAABBB.$$ Multipliquemos por $A^{-1}$ y $B^{-1}$ según sea necesario para eliminar cualquier letra inicial idéntica; obtenemos $$BBABA=AABBB.$$ Bueno, entonces con $w=BABAx$ y $v=ABBBx$ (para cualquier bola de ping-pong $x$) obtenemos $Av=Bw$, lo cual se suponía que era imposible. ¡Listo!