Diagonalización de matrices simétricas

Question

La Teoría Microeconómica de Mas-Collel, Whinston y Green (3ª edición) afirma que cualquier matriz simétrica puede ser diagonalizada de la siguiente manera:

¿Cuál sería la prueba de esto?

Answer 1

Si $M$ es una matriz simétrica, entonces podemos elegir los eigenvectores $v_1, \ldots, v_N$ de $M$ de tal manera que $B:=\{v_1, \ldots, v_N\}$ forme una base ortonormal para $\mathbb{R}^N$. Sea $C$ la matriz de cambio de base que lleva la base ortonormal estándar de $\mathbb{R}^N$ a $B$. La matriz $C$ tiene columnas dadas por los eigenvectores $v_i$, es decir, $$C = \begin{pmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_N\end{pmatrix}.$$

Dado que las columnas de $C$ forman una base ortonormal, $C$ es invertible y su inversa es $C^{-1} = C^T$. La matriz diagonal deseada viene dada por $D = C^{-1} M C$.

De manera intuitiva, lo que hemos hecho es utilizar $C$ para transformar la base estándar a una base que se comporta bien con respecto a $M$ (la base de eigenvalores $B$). Dado que $M$ actúa en los eigenvectores multiplicándolos por un escalar, vemos que $M$ se comporta como si fuera diagonal en esta base. Luego, volvemos a transformar a la base estándar utilizando $C^{-1}$.

Nb: Puede que haya confundido cuál de los $C$ tiene la inversa.