¿Cómo demostrar que esta serie converge mediante la prueba de comparación?

Question

$\frac{\sqrt{n}}{1+n^{5/2}}$

Estoy teniendo problemas para encontrar una fracción relacionada que sé que es convergente o divergente para encontrar la solución a esto

Answer 1

$\dfrac{\sqrt{n}}{1+n^{5/2}} \lt \dfrac{\sqrt{n}}{n^{5/2}} =\dfrac1{n^2} $.

Si no quieres comparar, nota que $\dfrac1{n^2} \lt \dfrac1{n(n-1)} = \dfrac1{n-1}-\dfrac1{n} $ lo cual telescopia (aunque debes comenzar en $n=2$, no en $n=1$).

Answer 2

Tienes $$ {\sqrt{n}\over 1 + n^{5/2} } \sim {1\over n^2}.$$ La prueba de comparación de límites hace que esto sea muy fácil. Un pequeño ajuste te dará la prueba de comparación regular.