¿Existe un pepino de mar biyectivo?

Question

Un amigo definió un pepino de mar como una función continua $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ tal que $f(z+1)+f(z+i)+f(z-1)+f(z-i)=0$ para todo $z\in\mathbb{C}$. Quería saber si existe un pepino de mar biyectivo.

Un ejemplo de un pepino de mar no trivial es $f(x+yi):=e^{i\pi(x+y)/2}$.

Supongamos que existe un pepino de mar biyectivo $f$. Si observamos $f^{-1}(D)$ para algún disco suficientemente grande $D$, entonces esto está acotado, por lo que está contenido en un disco lo suficientemente grande $E$. Luego, en cualquier dirección podemos salir de $E$ y encontrar $4$ puntos muy juntos donde los valores de la función se suman a $0$. Como $f$ es continua y biyectiva, cualquier camino a través de estos $4$ puntos debe recorrer todo el camino alrededor de $D$ para que esta suma sea $0$. Si dibujas algunos de estos caminos, rápidamente notas que $f$ debe tener algunas propiedades muy espirales. Ves lo que describimos como tentáculos si dejas que un camino pase a través de múltiples conjuntos de $4$ puntos alrededor de $E$. Además, si te alejas más del origen, puedes encontrar más de estos conjuntos de $4$ puntos, lo que significa que la cantidad de tentáculos debería seguir aumentando.

Todo esto es muy heurístico desafortunadamente, y no pudimos llegar a una contradicción ni encontrar un ejemplo. También intentamos ver si una función de $\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}$ a $\mathbb{C}$ que satisface la ecuación del pepino de mar puede incluso ser inyectiva, pero esperamos que esto sea posible.

Me encantaría ver hasta dónde podemos llegar con este problema. Cualquier progreso sería muy apreciado.

Answer 1

Tenga en cuenta que, para todo $z_{0} \in \mathbb{C}$, la condición $$ f(z + 1) + f(z - 1) + f(z + i) + f(z - i) = 0$$ da una restricción sobre los valores de $f$ tomados en la red $$ \{ z_{0} + n + m i : n, m \in \mathbb{Z} \}.$$ En particular, la restricción es que para cada punto en la red, la suma sobre los puntos vecinos de $f(z)$ es cero. De hecho, esto es equivalente a la condición original. Más generalmente, si tenemos alguna base $\beta = \{ u_{1}, u_{2} \}$ de $\mathbb{C}$ sobre los reales, entonces la afirmación de que para todo $z \in \mathbb{C}$ $$ \sum_{u \in \beta} [f(z + u) + f(z - u)] = 0$$ es equivalente a la afirmación de que para todo $z_{0} \in \mathbb{C}$, los valores de $f$ en la red $$ \{ z_{0} + n u_{1} + m u_{2} : n, m \in \mathbb{Z} \} $$ están restringidos de manera que para cualquier punto de la red, la suma de $f$ sobre los puntos vecinos es cero.

¿Por qué extenderse tanto en generalidades? Bueno, si recuerdo correctamente, esas restricciones (en redes complejas) a menudo imponen restricciones bastante estrictas sobre la función original, al menos para funciones analíticas. Un ejemplo particular (que es, admitidamente, solo de relevancia indirecta) es que si una función analítica es constante en una red de ese tipo (llamada función multiperiodica) entonces necesariamente es constante en todo el plano (por ejemplo, ver esta pregunta).

Otra posibilidad es considerar el análogo continuo. La condición original podría generalizarse de manera que para algún conjunto finito $\{ \alpha_{i} : 1 \leq i \leq n \}$ que satisface $\sum_{i} \alpha_{i} = 0$ tengamos $$ \sum_{i} f(z + \alpha_{i}) = 0. $$ Luego extendemos a un camino continuo $\alpha: [0, 1] \to \mathbb{C}$ con $\int_{0}^{1} \alpha(t) \ \mathrm{dt} = 0$ y requerimos $$ g(z) = \int_{0}^{1} f(z + \alpha(t)) \ \mathrm{dt} = 0 $$ para cada $z \in \mathbb{C$. Esto es tentadoramente similar a la integral en el teorema de los residuos (¿o quizás a la fórmula integral de Cauchy?) pero puede que no sea lo suficientemente similar como para ser útil.

Answer 2

Esto no es una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario.

Definamos dos funciones:

• $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ se definirá como $g(x)=xe^{i\pi x}$,
• $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ se definirá como $f(x+yi)=g(x)+g(y)i$

La función $g$ tiene algunas propiedades interesantes: $$g(x)+g(x-1)=xe^{i\pi x}+(x-1)e^{i\pi (x-1)}=e^{i\pi x}\left(x-(x-1)\right)=e^{i\pi x}$$ Aplicando esta identidad a $x$ y $(x+1)$ obtenemos $$g(x)+g(x-1)+g(x+1)+g(x)=e^{i\pi x}+e^{i\pi(x+1)}=e^{i\pi x}(1-1)=0$$ Ahora podemos concluir que $f$ es un pepino de mar (donde $z=x+yi$): $$\sum_{d\in\{\pm 1, \pm i\}} f(z+d) = \left[g(x+1)+g(x-1)+2g(x)\right] + \left[2g(y) + g(y+1)+g(y-1)\right]i=0$$

Además, $f$ restringida al dominio de los enteros gaussianos se reduce a una expresión muy simple (nota, tanto $x$ como $y$ son enteros): $$f(x+yi)=(-1)^xx + (-1)^yyi$$ lo que nos permite ver que en realidad es su propia inversa y, por lo tanto, una función biyectiva en el conjunto de enteros gaussianos.

Desafortunadamente, está lejos de ser una función biyectiva en todo $\mathbb{C}$. Por ejemplo, considera solo números de la forma $a(1+i)+\frac{1}{2}$ y define una función $h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ como $$h(a)=f\left(a(1+i)+\frac{1}{2}i\right)$$ Esto se simplifica a $h(a)=g(a)+g(a+\frac{1}{2})i=ae^{i\pi a}+(a+\frac{1}{2})e^{i\pi (a+1/2)}i=-\frac{1}{2}e^{i\pi a}$, una función periódica con período $2$. Esto solo implica la existencia de infinitos valores complejos diferentes, cada uno de los cuales es alcanzado por $f$ infinitamente veces (de hecho, para cada valor $z$ de este tipo, el conjunto $f^{-1}(z)$ no está acotado).