Otra pregunta sobre la función de Lindhard

Question

Aquí hay otra pregunta concerniente a la función de Lindhard tal como se usa en la descripción física de los metales.

Primero definimos la función de Lindhard general en la aproximación de fase aleatoria como $\chi(q,\omega)=\frac{\chi_{0}}{1-\frac{4\pi e^2}{q^2}\chi_{0}}$ donde $\chi_{0}$ denota la "función de Lindhard desnuda" excluyendo cualquier efecto de retroalimentación de electrones. Una referencia es el libro de Kittel "Teoría Cuántica de los Sólidos" Capítulo 6, sin embargo él está usando la función dieléctrica en lugar de la función de Lindhard.

Al escribir $\chi_{0}(q,\omega)=\chi_{01}+i\chi_{02}$ como un número complejo y usando la relación $\frac{1}{z-i\eta} = P(1/z) + i\pi\delta(z)$ en el límite que $\eta$ tiende a cero desde arriba y P(..) denota el valor principal, es fácil ver que la parte imaginaria de la función de Lindhard es cero excepto en el caso cuando tenemos excitaciones electrón-hueco de la forma $\hbar\omega=\epsilon_{k+q}-\epsilon_{k}.

Ahora supongamos que estudiamos excitaciones de plasma usando la función de Lindhard actual (no la desnuda). Estas excitaciones de plasma aparecen para pequeños q fuera del continuo electrón-hueco. Por lo tanto, tenemos una parte imaginaria que se desvanece de $\chi_{0}$ en este caso y consecuentemente, también una parte que se desvanece de $\chi$ en sí, ya que es una función de $\chi_{0}$ que es "real" excepto la parte "$\chi_{0}$".

Sin embargo, al derivar las excitaciones de plasma usando una expansión de q pequeña, obtenemos una parte imaginaria no nula de $\chi$ como se muestra en la ecuación (3.48) del siguiente documento: http://www.itp.phys.ethz.ch/education/lectures_fs10/Solid/Notes.pdf

No entiendo por qué esto es consistente.

Estaría más que feliz si pudieras ayudarme.

Gracias de antemano.

Answer 1

No hay inconsistencia. De hecho, al usar la polarizabilidad completa en la aproximación de fase aleatoria

$\chi^{\text{RPA}}(\mathbf{q},\omega)=\dfrac{\chi^{\text{RPA}}_0(\mathbf{q},\omega)}{1-V(q)\chi^{\text{RPA}}_0(\mathbf{q},\omega)}$

se puede ver que la parte imaginaria de la polarizabilidad ha sido renormalizada al tener en cuenta las interacciones electrón-electrón [renormalizadas] porque $V(q)$ ya no es la interacción de Coulomb desnuda. Hay que notar que, a partir de la expresión anterior, si tomamos $\text{Im}\,\chi_0(\mathbf{q},\omega)=-i\delta$

$-\text{Im} \,\chi(\mathbf{q},\omega)=\pi \delta(1-V(q)\text{Re}\,\chi_0(\mathbf{q},\omega))$

El hecho de que la parte imaginaria de la función de polarizabilidad $\text{Im} \,\chi(\mathbf{q},\omega)$ sea distinta de cero está relacionado con la amortiguación de las excitaciones y se conoce como amortiguamiento de Landau.

Es posible entender esto relacionando $\text{Im} \,\chi(\mathbf{q},\omega)$ con la conductividad del gas electrónico. Utilizando la definición de la conductividad y la ecuación de continuidad podemos mostrar que

$e^2 \text{Im} \,\chi(\mathbf{q},\omega) = -\dfrac{1}{\omega} \mathbf{q}\cdot[\text{Re}\,\bar\sigma(\mathbf{q},\omega)]\cdot \mathbf{q}$

La parte real de la conductividad está relacionada con la disipación en el sistema [calentamiento Joule] cuando circula una corriente $\mathbf{J}$.