Hartshorne ejemplo III.9.8.3

Question

En este ejemplo consideramos un subesquema cerrado $X_1\subset \mathbb{P}^{n+1}\setminus \{P\}$ donde $P=(0:\ldots:0:1)$. Para cada $a\in \mathbb{A}^1\setminus 0$ tenemos un automorfismo de $\mathbb{P}^{n+1}$ definido por $\varphi_a(x_0:\ldots:x_{n+1}):=(x_0:\ldots:ax_{n+1})$ el cual fija $P$. Definimos $X_a:=\varphi(X_1)$. Luego Hartshorne afirma que esta es una familia plana parametrizada por $\mathbb{A}^1\setminus 0$. ¿Cuál es el morfismo $f:\mathfrak{X}\to \mathbb{A}^1\setminus 0$ cuyas fibras son los $X_a$? Supongo que como un esquema sobre $\mathbb{A}^1\setminus 0$, la familia $\mathfrak{X}$ se supone que es isomorfa a $X_1\times (\mathbb{A}^1\setminus 0)$ así que pensé que tal vez podríamos tomar esto como nuestro mapa que define la familia pero supongo que estoy confundido acerca de si perdemos información al hacer esto.

Answer 1

Es cierto que abstractamente $\mathfrak{X}$ es isomorfo a $X_1\times(\Bbb A^1\setminus 0)$, pero aquí nos importa la incrustación que da más que pensar. Por ejemplo, todas las cosas divertidas con degeneraciones en las páginas siguientes a este ejemplo requieren esta incrustación más interesante; si incrustáramos las cosas de la manera que sugieres, obtendríamos una familia trivial isomorfa a $X_1\times\Bbb A^1$ después de tomar el cierre apropiado, lo cual definitivamente no es lo que sucede en estos ejemplos.

La incrustación $\mathfrak{X}\to \Bbb P^{n+1}_{\Bbb A^1\setminus 0}$ que Hartshorne busca se puede escribir como una composición de $X\times(\Bbb A^1\setminus 0)\to \Bbb P^{n+1}\times (\Bbb A^1\setminus 0) \cong \Bbb P^{n+1}_{\Bbb A^1\setminus 0}$ por el producto de la incrustación de $X\to\Bbb P^{n+1}$ y la identidad en $\Bbb A^1\setminus 0$ seguido por el automorfismo de $\Bbb P^{n+1}_{\Bbb A^1\setminus 0}$ dado en el nivel de anillos graduados por el mapa $$k[a,a^{-1},x_0,\cdots,x_{n+1}]\mapsto k[a,a^{-1},x_0,\cdots,x_{n+1}],$$ $$x_i\mapsto x_i \text{ cuando } i\neq n+1,$$ $$x_{n+1}\mapsto ax_{n+1}, \quad a\mapsto a$$ donde $\deg x_i=1$ y $\deg a=0$.