Cómo representar una línea 3D en coordenadas polares

Question

En una de mis aplicaciones, necesito representar una línea bajo el sistema de coordenadas polares 3D. En 2D, podemos definir una línea por una distancia al origen y luego un ángulo que indica la dirección de la línea (ver el siguiente ejemplo).

Sin embargo, me confundo un poco en el caso 3D. Parece que necesitamos 3 parámetros para definir la orientación de la línea. Mira el siguiente ejemplo, con (r, $\varphi$, $\theta$) se define solo un plano 3D. ¿Alguna idea de cómo poner el tercer parámetro de ángulo, digamos $\omega$? ¿Hay una forma estándar de poner $\omega$?

Esto también podría ser conocido como transformación de Hough. Corríjame si estoy equivocado acerca de esto.

Answer 1

Tres números no son suficientes para representar una línea 3D (infinita). Necesitas al menos 4 números, y usar 5 o 6 hace la vida más fácil. La representación obvia con 6 números es un punto (3 números) y un vector (3 números más). Para reducir a 5, se utiliza un vector unitario, que puede ser representado por dos números (por ejemplo, ángulos polares esféricos).

Para usar la técnica que estás sugiriendo, necesitarás usar un número más (además de $r$, $\theta$, $\phi$). Demos a este número adicional el nombre de $\psi$.

Imagina que comienzas con una línea vertical, paralela al eje $z$, pasando por el punto $(r,0,0)$ en el eje $x$. Rota esta línea alrededor del eje $z$ por un ángulo $\theta$ y luego gira hacia arriba por un ángulo $\phi$. Tu línea ahora estará en el plano sombreado mostrado en tu segunda imagen, pero su dirección puede que no sea correcta. Utiliza el ángulo $\psi$ para rotar la línea desde su posición actual a la correcta.

Los ángulos $\theta$, $\phi$, $\psi$ son a menudo llamados ángulos de Euler. Tres ángulos de Euler pueden ser utilizados para representar cualquier rotación 3D. Son tremendamente confusos porque existen muchas formas diferentes de definirlos (dependiendo de los ejes elegidos para la rotación, y el orden de las rotaciones). Para más detalles, consulta esta página de Wikipedia.

Answer 2

Editar: Sí, tienes toda la razón en que obtienes solo un punto. Para definir una línea, necesitas o bien dos puntos $p_1$ y $p_2$, o necesitas $p_1$ y un vector de dirección $v$. No creo que haya una forma estándar de hacer esto usando coordenadas esféricas.