Tengo el Conjunto de Cantor dividido de la siguiente manera: \begin{align}\mathrm{Segmento\ 1}&=[0,\frac13],[\frac23,1]\\ S_1&=\frac13\\ \mathrm{Segmento\ 2}&= [0,\frac19],[\frac29,\frac13],[\frac23,\frac79],[\frac89,1]\\ S_2&=\frac13+\frac29\end{align} Mis preguntas son ¿mis $S_n$ qué es lo que no permanece? Porque tengo que construir una serie de lo que no permanece, ¿es así de correcto? Porque hasta ahora tengo lo siguiente. \begin{equation}\sum_0^\infty \frac{1}{3}(\frac23)^n=\frac13+\frac29+\frac{4}{27}+... \end{equation}
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No estoy seguro si te entendí correctamente. En cada paso estás calculando una medida del complemento del conjunto de Cantor (en el intervalo unitario). Dado que el conjunto de Cantor es un subconjunto de $[0,1]$, entonces $\mu(\mathcal{C})=\mu([0,1])-\mu([0,1]\setminus\mathcal{C})$. Ahora solo observa que en el paso $n$ has removido una longitud total de $\sum_{k=1}^n\frac{2^{n-1}}{3^n}$ que es una serie geométrica que converge a $1$.
