Conjunto de Borel desplazado

Question

Sea $A$ un subconjunto acotado de Borel de la recta real con $\lambda(A)>0$ donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue. ¿Cómo se muestra que $f(x)=\lambda(A \cap (x+A)$ es continua en $x$? Mi intento:

Sea $(x_n)$ una secuencia convergente a $x$, entonces basta con mostrar que $f(x_n)$ converge a $f(x)$. En particular, si se muestra que $\mathbb{1}_{A \cap (x_n+A)}$ converge a $\mathbb{1}_{A \cap (x+A)}$ entonces con la convergencia dominante ya estamos listos. Desafortunadamente, si $x$ es un punto aislado esto parece no funcionar.

¿Es posible arreglar este argumento? Agradecería mucho.

Answer 1

Aquí hay otro enfoque: Usando el hecho de que para $f\in L^1(\mathbb{R})$ y $g\in L^\infty(\mathbb{R})$, la convolución $(f*g)(x)$ es una función continua de $x$ (se esboza una prueba aquí), vemos que $$f(x)=\int_{\mathbb{R}}\chi_{A\cap(x+A)}(t)dt=\int_{\mathbb{R}}\chi_A(t)\chi_{-A}(x-t)dt=(\chi_A*\chi_{-A})(x).$$ Dado que $A$ es acotado y Borel, $\chi_A, \chi_{-A}\in L^1(\mathbb{R})\cap L^\infty(\mathbb{R})$ y por lo tanto $f$ es continua como se deseaba.