¿Es cierto o no el siguiente límite? (convergencia de funciones)

Question

Sea $x\in(0,1)$, sea $p>1.$ Me preguntaba si $\lim_{n\to\infty} n^{\frac{2}{p}}x^{\frac{n}{p}}=0$ es verdadero o no? Grafiqué algunos valores y parece ser cierto pero estoy luchando para probar esto. Intuitivamente, una cosa que puedo pensar es que $x^{\frac{n}{p}}$ decae mucho más rápido que $n^{\frac{2}{p}}$.

Answer 1

Tu intuición

de que $x^{\frac{n}{p}}$ decae mucho más rápido que $n^{\frac{2}{p}}$.

es básicamente correcta. En general, los valores exponenciales de la forma $y^z$ donde $y \gt 1$, con $z \to \infty$, siempre eventualmente crecen más rápido que cualquier polinomio $p(z)$.

Dado que $x\in(0,1)$, entonces

$$y = \frac{1}{x} \gt 1 \tag{1}\label{eq1A}$$

Por lo tanto, puedes reescribir tu límite de la siguiente manera

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} n^{\frac{2}{p}}x^{\frac{n}{p}} & = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{\frac{2}{p}}}{y^{\frac{n}{p}}} \\ & = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^{2}}{y^{n}}\right)^{\frac{1}{p}} \\ & = \left(\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{y^{n}}\right)^{\frac{1}{p}} \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2A}$$

Dado que los límites son $\infty$ tanto en el numerador como en el denominador, puedes usar la regla de L'Hôpital. Usándola dos veces se obtiene

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{y^{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{(\ln(y))^2 y^{n}} = 0 \tag{3}\label{eq3A}$$

Esto muestra que el límite en \eqref{eq2A} es también $0$.

Answer 2

\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} n^{\frac{2}{p}}x^{\frac{n}{p}} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\frac{2}{p}\ln n}\mathrm{e}^{\frac{n}{p}\ln x} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\frac{2 \ln n + n \ln x}{p}} \end{align*}

Dado que $0, $\ln x < 0$, entonces $n \ln x$ es una función lineal en $n$ con una pendiente negativa. $2 \ln n$ es logarítmica en $n$. Como se observa, la función lineal domina, por lo que

\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\frac{2 \ln n + n \ln x}{p}} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\frac{n \ln x}{p}} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} x^{\frac{n }{p}} \\ &= 0 \text{.} \end{align*}