¿Es la singularidad de los elementos de norma mínima en los espacios $L^2$ una consecuencia de la convexidad estricta?

Question

Me estoy adentrando en el concepto de convexidad estricta en espacios $L^2$ y sus implicaciones para la existencia y unicidad de elementos con normas mínimas en $L^2$. Dado el papel de $L^2(\mathbb{R})$ como un espacio central en análisis funcional, particularmente en teoría de optimización y aproximación, me intriga cómo sus propiedades estructurales influyen en dicha unicidad.

Definición Matemática de Convexidad Estricta: Un espacio vectorial normado $V$ se dice que es estrictamente convexo si, para cualquier par de puntos distintos $x, y \in V$ con $x \neq y$ y cualquier $t \in (0, 1)$, se cumple la siguiente desigualdad: $$ \|tx + (1-t)y\| < t\|x\| + (1-t)\|y\|. $$ Esta definición implica que el segmento de línea que conecta dos puntos en el espacio está completamente contenido dentro de la bola unitaria, excepto en los extremos.

Pregunta:

Dada la convexidad estricta de $L^2(\mathbb{R})$, ¿es correcto afirmar que todo subconjunto no vacío de $L^2(\mathbb{R})$ necesariamente contiene un elemento único con la norma mínima en $L^2$? Específicamente, ¿la convexidad estricta garantiza que para cualquier subconjunto de $L^2(\mathbb{R})$, no puede haber dos elementos distintos con la misma norma mínima?

Estoy buscando una explicación matemática que conecte los puntos entre la convexidad estricta de los espacios $L^2$ y el principio que asegura la unicidad de los elementos con norma mínima. Cualquier insight, demostración o referencia a la literatura que desarrolle esta relación sería muy apreciada.

Answer 1

Tal como señaló BigbearZzz en los comentarios, no, un subconjunto general de $L^2(\Bbb{R})$ (o de hecho, cualquier espacio normado no trivial) no necesariamente tiene un punto único de norma mínima, ya que podemos tomar cualquier punto no nulo $x$ en el espacio, y $\{x, -x\}$ tiene dos puntos distintos de norma mínima.

El fracaso de este ejemplo radica en que, aunque el punto medio de los dos puntos tiene una norma estrictamente menor, no está en el conjunto, y por lo tanto no contradice la minimalidad de los dos puntos con los que comenzaste.

Si un conjunto es convexo (o incluso simplemente convexo respecto al punto medio), la situación es diferente. Puedes usar la convexidad estricta de la norma para (muy fácilmente) demostrar que hay a lo sumo un punto de norma mínima. De hecho, hay una afirmación recíproca: si cada conjunto convexo alcanza a lo sumo un punto de norma mínima, entonces el espacio lineal normado es estrictamente convexo. Esto se demuestra simplemente considerando el segmento de recta entre cualquier par de puntos de la esfera. Para resumir,

Teorema 1. Un espacio lineal normado $(X, \| \cdot \|)$ es estrictamente convexo si y solo si, para todos los conjuntos convexos $C \subseteq X$, existe a lo sumo un punto de norma mínima en $C$.

Garantizar la existencia de un punto de norma mínima es otra historia. También podemos construir ejemplos de conjuntos, incluso convexos, donde no existe dicho punto. Trivialmente, podríamos tomar el conjunto vacío. Un poco menos trivialmente, podríamos considerar un semirrecta abierta que apunta al origen, es decir, $\{\lambda x : \lambda > 1\}$, donde $x \neq 0$. Esta semirrecta no tiene un punto de norma mínima.

Claramente, en el ejemplo anterior, el fracaso se debió a que el conjunto no estaba cerrado; si simplemente hubiéramos incluido $x$ en el conjunto, entonces sería el punto (único) de norma mínima. ¿Entonces los conjuntos cerrados nos garantizan un punto de norma mínima?

No, al menos, no en $L^2(\Bbb{R})$. Podemos elegir un conjunto ortonormal infinito $\{e_1, e_2, \ldots\}$. Luego podemos formar un conjunto: $$\left\{\left(1 + \frac{1}{1} \right)e_1, \left(1 + \frac{1}{2} \right)e_2, \left(1 + \frac{1}{3} \right)e_3, \ldots\right\},$$ el cual nuevamente no tiene una norma mínima; admite normas de la forma $1 + \frac{1}{n}$, pero no de $1$. El conjunto es cerrado porque la distancia entre cualquier par de puntos es mayor que $\sqrt{2}$, por lo que cualquier secuencia convergente desde estos puntos eventualmente es constante.

Por supuesto, dicho conjunto no es convexo. Si requerimos que un conjunto sea cerrado, convexo y no vacío, al menos en $L^2(\Bbb{R})$, ¡entonces al menos existe un punto de norma mínima! De hecho, se cumple el siguiente teorema:

Teorema 2. Un espacio de Banach $(X, \| \cdot \|)$ es reflexivo si y solo si cada conjunto cerrado, no vacío y convexo admite al menos un punto de norma mínima.

"Reflexivo" es un término de análisis funcional, con múltiples definiciones equivalentes, usualmente definido en términos de la inclusión natural de $X$ en su bidual segundo $X^{**}$ es sobreyectiva, o en términos de la bola unidad siendo débilmente compacta. Estos espacios son necesariamente espacios de Banach, aunque hasta donde yo sé, la restricción a espacios de Banach es necesaria para que el teorema anterior funcione. Todos los espacios de Hilbert, como $L^2(\Bbb{R})$ son reflexivos.

Así que, combinando estos teoremas, los espacios para los cuales los conjuntos cerrados, no vacíos y convexos contienen un punto único de norma mínima, son precisamente los espacios normados reflexivos y estrictamente convexos, incluyendo $L^2(\Bbb{R})$.