Deje $\mathcal{C}$ ser una categoría, vamos a $S \subseteq \operatorname{mor} \mathcal{C}$, y deje $\bar{S}$ ser la clase de todos los morfismos en $\mathcal{C}$ que se convierten en invertible en a $S^{-1} \mathcal{C}$. Como t.b. señaló en los comentarios, el 2-out-of-6 propiedad + tres flecha de cálculo es suficiente para garantizar la $S = \bar{S}$, es decir, que los morfismos en $\mathcal{C}$ que se convierten en invertible en a $S^{-1} \mathcal{C}$ son precisamente los en $S$. (Tenga en cuenta que el 2-out-of-6 propiedad es una necesaria condición).
Si usted está dispuesto a tomar el teorema fundamental de la tres-flecha de los cálculos (es decir, el que da las condiciones necesarias y suficientes para dos, tres-flecha zigzag (es decir,$\bullet \leftarrow \bullet \rightarrow \bullet \leftarrow \bullet$) para representar el mismo morfismos) por descontado, esto es en realidad bastante sencillo: ver, por ejemplo, la Proposición 36.4 en [Dwyer, Hirschhorn, Kan, y Smith] o proposición 3.5.10 en mis notas.
La dificultad en el caso general, parece que se reducen al hecho de que el zig-zag que representa un inversa en $S^{-1} \mathcal{C}$ para un morfismos en $\bar{S}$ no puede consistir sólo en morfismos en $\bar{S}$ (por no hablar de $S$). Un ejemplo de esto es el caso donde $S = \emptyset$ o $S = \{ \text{identities} \}$. Sin embargo, se observa que una de tres flecha zig-zag que representa un isomorfismo en $S^{-1} \mathcal{C}$ necesariamente sólo consta de morfismos en $\bar{S}$. Esto, supongo, es la importancia de 3.
En lugar de curiosamente, el hecho de que $\bar{S}$ es cerrado bajo retrae parece jugar ningún papel. Para el registro, permítanme señalar que el 2-out-of-6 de propiedad no implica el cierre bajo retrae. Considere la siguiente categoría $\mathcal{C}$,
$$\begin{array}{ccccc}
X' & \to & X & \to & X' \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\
Y' & \to & Y & \to & Y'
\end{array}$$
donde los compuestos a través de la fila superior es $\mathrm{id}_{X'}$ y el compuesto a través de la fila de abajo es $\mathrm{id}_{Y'}$, pero $X' \to X$ $Y' \to Y$ no isomorphisms. Deje $S$ ser el conjunto de todas identidad morfismos en $\mathcal{C}$, además de los morfismos $X \to Y$. A continuación, $S$ 2-out-of-6 de la propiedad (porque ninguno de los morfismos en $S$ admite no trivial factorización), pero no es cerrado bajo retrae.
Hay un pequeño rayo de esperanza, aunque. Observar que la clase de los pares de $(\mathcal{C}, S)$ donde $S = \bar{S}$ es cerrado bajo arbitraria de productos. (Ver lema 3.1.11 en mis notas.) Digamos que $(\mathcal{C}, S)$ es saturada si $S = \bar{S}$. El functor $(\mathcal{C}, S) \mapsto S^{-1} \mathcal{C}$ es un adjunto a la izquierda, por lo que conserva colimits. En particular, se conserva filtrada colimits. Por otra parte, dado un pequeño filtrado diagrama de $\mathcal{A}_\bullet : \mathcal{J} \to \mathbf{Cat}$, una de morfismos en ${\varinjlim}_\mathcal{J} \mathcal{A}_\bullet$ es un isomorfismo si y solo si es la imagen de un isomorfismo en algunos $\mathcal{A}_j$; por lo tanto, se filtra colimits de preservar la propiedad de ser saturadas. Por lo tanto, la clase de los pares de $(\mathcal{C}, S)$ donde $S = \bar{S}$ es cerrado bajo ultraproducts. No es difícil ver que $(\mathcal{C}, S)$ es saturada si y sólo si algunos ultrapower está saturado, por lo que el Keisler–Sela teorema implica que la clase de grasas saturadas $(\mathcal{C}, S)$ es cerrado bajo la primaria de equivalencia. Por lo tanto, es una clase de primaria, es decir, axiomatisable por una teoría de primer orden lenguaje de categorías con un extra de predicado unario. Tal vez alguien inteligente será capaz de encontrar una descripción explícita de esta teoría.
