Si $X$ es una variable aleatoria, entonces $X^{\pm}$ son variables aleatorias

Question

Para $x\in\mathbb{R}$, sea $x^+:=\max\{0,x\}$ su parte positiva, $x^-:=-\min\{0,x\}$ su parte negativa. Demuestra que si $X$ es una variable aleatoria, entonces $X^{\pm}$ también son variables aleatorias.

He intentado demostrar esto utilizando la definición de una variable aleatoria, por lo tanto intenté mostrar que $\forall t\in\mathbb{R}$, $\{X^+\le t\}$ y $\{X^-\le t\}$ son eventos. Pero de alguna manera, cuando intenté evaluarlos, me confundí, especialmente cuando se dividen en casos para $x<0$ y $x\ge 0$ pero $X^+$ y $X^-$ ya son su parte positiva y negativa.

Así es como lo escribí:
$$\{X^+\le t\}= \begin {cases} ?&\text{si }x < 0;\\ ?&\text{si }x \ge 0. \end {cases}$$ $$\{X^-\le t\}= \begin {cases} ?&\text{si }x < 0;\\ ?&\text{si }x \ge 0. \end {cases}$$

¿Alguien podría ayudarme a aclarar esta confusión? ¿Cómo puedo completar la evaluación de $\{X^+\le t\}$ y $\{X^-\le t\}$?

Gracias.

Editar:

Gracias @user64480 por señalar el error y proporcionar la solución.

Aquí está la correcta:
$$\{X^+\le t\}= \begin {cases} \emptyset,&\text{si }t < 0;\\ \{X\le t\},&\text{si }t \ge 0. \end {cases}$$ $$\{X^-\le t\}= \begin {cases} \emptyset,&\text{si }t < 0;\\ \{X\ge -t\}&\text{si }t \ge 0. \end {cases}$$

Answer 1

Sus casos deben depender de si $t$ es positivo o negativo. Recuerde, en la expresión $\{X^+\le t\}$, pensamos en $t$ como fijo.

Si $t< 0$, entonces $\{X^+\le t\}$ está vacío, ya que $X^+$ es no negativo. El conjunto vacío es un evento.

Si $t\ge 0$, entonces $\{X^+\le t\}=\{X\le t\}$. Esto es porque si $X^+\le t$, entonces $\max(0,X)\le t$, por lo que en particular $X\le t$. De manera recíproca, si $X\le t$, entonces, dado que también asumimos $0\le t$, se sigue que $X^+=\max(0,X)\le t. Por lo tanto, los dos conjuntos son de hecho iguales. Pero $\{X\le t\}$ es un evento ya que $X$ es una variable aleatoria.

Intente hacer un análisis similar para $X^-.