Demostrar que T es continuo y encontrar su norma.

Question

Pregunta- Sea $x\in l^2$. Demuestra que $Ty=xy=(x_1y_1,x_2y_2,...)$ define una aplicación lineal de $l^2$ a $l^1$. También muestra que $T$ es continua y encuentra la norma ||$T$||.

¿Cómo puedo mostrar que $\sum\limits_{j=1}^n|x_jy_j|< \infty$, eso es lo que tengo que probar, ¿verdad, para mostrarlo en $l^1$? ¿Podemos demostrar que $T$ es continua como consecuencia de algún teorema en análisis funcional o tengo que ir por la definición? ¿Y cuál será ||$T$||? Por favor ayúdame. Lo hice mal en mi examen y hoy mi profesor pedirá la solución correcta. No sé cuál es la solución correcta.

Answer 1

Si $x, y \in \ell^2$, entonces por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos $$\begin{align} \left(\sum_{j=1}^{n}|x_j y_j|\right)^2 &\leq \left(\sum_{j=1}^{n}|x_j|^2\right)\left(\sum_{j=1}^{n}|y_j|^2\right) \\ &\leq \left(\sum_{j=1}^{\infty}|x_j|^2\right)\left(\sum_{j=1}^{\infty}|y_j|^2\right) \\ &= \|x\|_2^2 \|y\|_2^2 < \infty \end{align}$$ y por lo tanto $$\|Ty\|_1 = \sum_{j=1}^{\infty} |x_j y_j| \leq \|x\|_2 \|y\|_2$$ Esto muestra que $T$ define una función de $\ell^2$ a $\ell^1$ como se indica. La linealidad de $T$ es clara. La misma desigualdad muestra que $T$ está acotado, por lo tanto continuo. Dado que la igualdad se logra cuando $y$ es un múltiplo escalar de $x$, también podemos concluir que $\|T\| = \|x\|_2$.

Answer 2

Para demostrar que es un mapa lineal, necesitas mostrar que $T$ satisface las dos condiciones

$$ T(x+y) = T(x) + T(y)\quad \forall x,y\in \ell^2, \\ T(a x ) = a\, T (x), $$

donde $a$ es un escalar que pertenece al Campo sobre el cual está definido el espacio vectorial.