Fuerza entre placas de un capacitor con dieléctrico una batería

Question

Mi profesor me dijo que la fuerza aumentará $k^2$ veces, donde $k$ es la constante dieléctrica, pero no entiendo cómo. Para empezar, sin dieléctrico, la fuerza entre las placas se expresa como $\frac{q^2}{2A\epsilon_{0}}$. Si inserto un dieléctrico y las placas están conectadas a una batería, la carga se convierte en $q'=kq$; dado que la diferencia de potencial no cambia (gracias a la batería) pero la capacitancia sí. Entonces, cuando reemplazo $q$ con $q'$ en la ecuación anterior, también debo cambiar $\epsilon_{0}$ a $k \epsilon_{0}$ simultáneamente (ya que el medio ha cambiado), obteniendo así

$$F'=\frac{k^2q^2}{2Ak\epsilon_{0}}=kF,$$ ya que uno de los $k$ se cancela. Se supone que debo obtener $k^2F$. ¿Qué estoy pasando por alto?

Answer 1

Se supone que debo obtener $k^2 F$. ¿Qué me falta?

En realidad has agregado algo que no debería ser agregado: la permitividad del dieléctrico en la fórmula de la fuerza $$ F = \frac{q^2}{2\epsilon A}.~~~(1) $$

Si el dieléctrico es una losa sólida insertada entre las placas, esta no es la fórmula correcta. La fórmula correcta es

$$F = \frac{q^2}{2\epsilon_0 A}.~~~(2) $$

La razón es que el campo que actúa en la placa del capacitor es completamente debido a la otra placa del capacitor; el campo debido al dieléctrico es cero fuera del dieléctrico.

Si el dieléctrico es un fluido llenando el espacio entre y fuera de las placas, las cosas cambian: el fluido ejerce cierta presión sobre las placas y la fórmula (1) se vuelve correcta (esto se puede derivar utilizando el principio de trabajo virtual).

Answer 2

La fuerza $F$ entre placas de un capacitor se discute aquí y se muestra como $\frac 12 QE$ donde $Q$ es la carga en el capacitor y $E$ es la intensidad del campo eléctrico.

En tu ejemplo con un voltaje constante, esto se puede escribir mejor como $F=\frac 12 CV \; \frac V d $ donde $C$ es la capacitancia $=\frac{k\epsilon_o A}{d}$ con $d$ siendo la separación de las placas y $A$ el área de las placas.

Entonces, la fuerza $\left (=\frac {k\epsilon_o A V^2}{d^2}\right )$ es proporcional a la constante dieléctrica $k.

Answer 3

El campo eléctrico cerca de una de las placas (digamos la placa positiva) va a ser $E_+= \frac{\sigma}{2\epsilon_o}=\frac{q}{2\epsilon_oA}$, lo que generará una fuerza en la otra placa de $F=qE_+=\frac{q^2}{2\epsilon_oA}$. El campo entre las placas va a ser $E=V/d$ (donde $d$ es la distancia entre las placas) y la carga en cada placa va a ser $q=CV$. Estos son iguales para un capacitor de placas paralelas en el vacío o con un dieléctrico.

Introducir un dieléctrico aumentará la capacitancia de $C_o$ (la capacitancia sin dieléctrico) a $C$ por un factor de $k$, y por lo tanto la cantidad de carga en cada placa por $k$. Esto se debe a que $C_o=\frac{\epsilon_oA}{d}$ se convierte en $C=\frac{k\epsilon_oA}{d}=kC_o$, y por lo tanto $q=CV=kC_oV.

Juntando todo esto, la fuerza resultante es $F=\frac{k^2\epsilon_oA}{2d^2}V^2=k^2F_o$. Donde $F_o$ es la fuerza sin un dieléctrico.