¿Significa $\sigma(T) = \{1\}$ y $\|T\| = 1$ que $T$ es la identidad?

Question

Supongamos que $T$ es un operador lineal acotado en un espacio de Banach complejo X y que sabemos que $\sigma(T) = \{1\}$ y $\|T\| = 1$ (es decir, el espectro de la contracción $T$ consiste solo en un único punto, 1). ¿Se sigue que $T$ es el operador identidad?

Esto es cierto en dimensiones finitas. En dimensiones finitas, el operador $N := T - \mathbb{1}$ es nilpotente. Si $N\neq 0$, entonces existe un entero estrictamente positivo $D$, tal que $N^D \neq 0$ y $N^{D+1} = 0$. Para $K \geq D$, tenemos $$1 = \|T\| = \|\mathbb{1} +N\| = \|(\mathbb{1} + N)^K\| = \|\mathbb{1} + \sum_{i = 1}^K {K\choose i} N^i\| = \|\mathbb{1} + \sum_{i = 1}^D {K\choose i} N^i\|.$$ Elige un vector $x \in X$ tal que $N^Dx \neq 0$, entonces los vectores $x, Nx, N^2x, \dots N^Dx$ son linealmente independientes. La función coordenada de $Nx$ es ${K\choose 1} = K$, que es ilimitada a medida que $K \rightarrow \infty$. Esto contradice que $\|T\| = 1$.

En dimensiones infinitas, la dificultad es que $N$ no es nilpotente sino meramente cuasinilpotente y que las funciones coordenadas pueden no ser continuas. En este momento no puedo demostrarlo ni construir un contraejemplo.

Answer 1

La respuesta es no, no tiene por qué ser la identidad incluso en el espacio de Hilbert. Un contraejemplo se puede construir de la siguiente manera.

Sea $H^2$ el espacio de Hardy en el disco unitario y $S$ sea el desplazamiento unilateral, es decir, $Sf=zf$, $f\in H^2$. Entonces, el modelo funcional clásico para una contracción completamente no unitaria (también conocida como clase $C_0$) es $T=P_KS|K$ donde $K=H^2\ominus\Theta H^2$, $\Theta$ es una función interna y $P_K$ es la proyección ortogonal en $K$. Es un hecho conocido que $\sigma(T)$ es el espectro de $\Theta$ (ceros y ceros límite). Si tomamos la función interna singular $$ \Theta_s(z)=\exp\left(\frac{z+1}{z-1}\right) $$ entonces el único punto del espectro se convierte en $z=1$. La desigualdad de la norma para la contracción $\|T\|\le 1$ se convierte en igualdad ya que el radio espectral es $1$. También se conoce en la literatura como un operador unicelular o un bloque de Jordan.

Más sobre el modelo funcional se puede encontrar en

• [1] Sz.-Nagy, Foias, "Análisis Armónico de Operadores en el Espacio de Hilbert" (Cap.III),
• [2] Nikol'skii, "Tratado sobre el Operador de Desplazamiento",
• [3] Bercovici, "Teoría de Operadores y Aritmética en $H^\infty$".

En particular, en [3, Cap.IV.3] se puede encontrar otro ejemplo. Sea $$ Vf(x)=\int_0^x f(t)\,dt,\quad f\in L^2[0,1], $$ (es un operador de Volterra, es decir, $\sigma(V)=\{0\}$) y $T=(I-V)(I+V)^{-1}$. Entonces $T$ es unitariamente equivalente a $P_K\Theta_s|K$ anteriormente. Alternativamente, este $T$ es el cogenerador de un semigrupo fuertemente continuo de contracciones ${\cal T}(t)$ que desaparece después de $t=1$ (ver [3]).