Verificación de la solución Determine la posición de M

Question

El problema

En el prisma cuadrangular regular, $ABCDA'B'C'D'$, el borde de la base es igual a $4 \sqrt{6}$, y el volumen es $1152$. Determina la posición del punto M en el borde CC', de manera que los planos $(BA'D)$ y $(MBD)$ sean perpendiculares.

La idea

dibujo

ingresa aquí la descripción de la imagen

Permito que O sea el centro del cuadrado ABCD.

Si esos planos son perpendiculares, entonces el ángulo que forman es de 90.

Usando el teorema de los 3 perpendiculares, obtenemos que $MO\perp DB, A'0\perp BD$ y el lado común de ambos planos $(BA'D)$ y $(MBD)$, lo que hace que el ángulo entre ellos sea $\angle A'OM=90$

Podemos calcular utilizando el volumen y el borde de la base que el borde lateral es $12$, entonces AA'=12 y también podemos calcular $AO=4\sqrt3$, a partir de aquí obtenemos que $\angle A0A'=60=> \angle COM=30, => MC=4 $ por lo que determinamos la posición de M

La cosa es que no sé si esta es la única solución... No sé si M puede estar fuera de CC' ¡Gracias!

Answer 1

Lo que intentaba decir es que, $M'$ puede ser un punto que tenga la misma distancia de $O$ que $M$ y mantendrá la relación de perpendicularidad en el triángulo verdadera. Pero en tus respuestas, dices que $M'$ debe estar en $CC'$, lo cual no es posible.

Solo hay un punto en $CC'$ para el cual $COM=30°$

Answer 2

La altura del prisma es $h = \dfrac{1152}{(4 \sqrt{6})^2} = 12 $

La proporción de la altura con la longitud del lado de la base es $ r = \dfrac{12}{4 \sqrt{6}} = \dfrac{3}{\sqrt{6}} = \sqrt{\dfrac{3}{2}} $

Entonces, sea $A = (0,0,0), B = (1, 0, 0), C = (1,1,0), D = (0, 1, 0),\\ A' = (0,0,r), B' = (1,0,r), C' = (1,1,r), D' = (0,1,r) $

Luego, el vector normal al plano $BA'D$ es

$n_1 = A' B \times A' D = ( (1,0,-r) \times (0,1,-r) = (r , r, 1) $

El punto $M $ está en $CC'$, entonces $M = (1, 1, z) $

El vector normal al plano $MBD$ es

$n_2 = BM \times BD = ( 0,1,z ) \times ( -1,1,0 ) = (-z , -z, 1) $

Si estos dos planos son perpendiculares entre sí, entonces el producto punto $n_1 \cdot n_2 = 0 $, es decir,

$(r,r,1) \cdot (-z, -z, 1) = 0 $

Por lo tanto,

$ - 2 r z + 1 = 0 $

Por lo tanto $z = \dfrac{1}{2 r} = \sqrt{\dfrac{1}{6}}$

La proporción de $z$ con $r$ es

$ \dfrac{z}{r} = \sqrt{ \dfrac{ 2 }{18 } } = \dfrac{1}{3} $

Lo que significa que $M$ está un tercio del camino desde $C$ hacia $C'$.

Por lo tanto, en las dimensiones reales del prisma,

$ Z = \dfrac{h}{3} = 4 $