Deje que $$I = \int \frac{\sin (x +\alpha)}{\cos^3 x}{\sqrt\frac{\csc x + \sec x}{\csc x - \sec x}}dx$$
$$I = \cos \alpha \int \frac{\sin x+\cos x\cdot \tan \alpha}{\cos x}\cdot \sqrt{\frac{1+\tan x}{1-\tan x}}\cdot \sec^2 xdx$$
Por lo tanto $$I = \cos \alpha \int (\tan \alpha+\tan x)\sqrt{\frac{1+\tan x}{1-\tan x}}\cdot \sec^2 xdx$$
Ahora ponga $\tan x= t\;,$ luego $\sec^2 xdx = dt$
Por lo tanto $$I = \cos \alpha \int (t+\tan \alpha)\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}dt = \cos \alpha \int \frac{(t+\tan \alpha)(t+1)}{\sqrt{1-t^2}}dt$$
Por lo tanto $$I = \cos \alpha \int\frac{t^2+(\tan \alpha +1)t+\tan \alpha}{\sqrt{1-t^2}}dt$$
Por lo tanto $$I = \cos \alpha \int\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}}dt+\cos \alpha \int\frac{(\tan \alpha +1)}{\sqrt{1-t^2}}dt+\cos \alpha\int\frac{\tan \alpha}{\sqrt{1-t^2}}dt$$
En el primer paso, ponga $t=\sin \phi\;,$ luego $dt = \cos \phi d\phi$ y en el segundo $(1-t^2)=u^2\;,$ luego $tdt = -udu$
Por lo tanto $$I = \frac{\cos \alpha}{2} \int (1-\cos 2 \phi)d\phi-\cos \alpha (1+\tan \alpha)\int du+\sin \alpha \cdot \sin^{-1}(t)$$
Por lo tanto $$I = \frac{\cos \alpha}{2}\left[\sin^{-1}(t)-t\sqrt{1-t^2}\right]-\cos \alpha(1+\tan \alpha)\sqrt{1-t^2}+\sin\alpha\cdot \sin^{-1}(t)+\mathcal{C}$$
Por lo tanto $$I = \frac{\cos \alpha}{2}\left[\sin^{-1}(\tan x)-t\sqrt{1-\tan^2x}\right]-\cos \alpha(1+\tan \alpha)\sqrt{1-\tan^2x}+\sin \alpha \cdot \sin^{-1}(\tan x)+\mathcal{C}$$