Representación de la matriz de transformación lineal con confirmación de respuesta de diferenciación

Question

Espero que te haya gustado el título.

Tengo una pregunta que es la siguiente:

Considera la transformación lineal $T: P_3(\mathbb{R}) \to P_3(\mathbb{R})$ dada por $$T(f(x))=f(0)+f'(x)+f''(x)$$ Donde el símbolo de prima denota diferenciación

a) Determina la representación matricial de $T$ con respecto a la base ordenada estándar de $P_3(\mathbb{R})$

Nota: Base estándar $\{1,x,x^2,x^3\}$

¿Está correcto?

$ \begin{pmatrix} 0&0&0&0\\1&0&0&0\\2&2&0&0\\0&6&3&0 \end{pmatrix}$

??

Answer 1

$T(1)=1=1.1+0.x+0.x^2+0.x^3$

$T(x)=1$

$T(x^2)=0+2x+2=2.1+2.x+0.x^2+0.x^3$

$T(x^3)=0+3x^2+6x=0.1+6.x+3.x^2+0.x^3$

No veo cómo obtuviste esa matriz cuando la matriz debería ser $$\begin{pmatrix} 1&1&2&0\\0&0&2&6\\0&0&0&3\\0&0&0&0 \end{pmatrix}$$

Si $f(x) \in Ker(T)$, entonces $T(f(x))=0$, lo que daría $f(0)+f'(x)+f''(x)=0$. Ahora, dado que cualquier $f(x) \in P_3$ se verá como $a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$, tendremos $(a_0)+(a_1+2a_2x+3a_3x^2)+(2a_2+6a_3x)=0$, lo que da $(a_0+a_1+2a_2)+x(2a_2+6a_3)+x^2(3a_3)=0$. Ahora, esto es $0$ para todos los $x$. Por lo tanto, $3a_3=0$, $2a_2+6a_3=0$ y $a_0+a_1+2a_2=0$. Resolviendo estos juntos te dará $a_0=-a_1$. Por lo tanto, $f(x) =a_0(1-x)$.

Nota que también puedes encontrar estas ecuaciones resolviendo para $X=(a_0,a_1,a_2,a_3)$ tal que $AX=0$, donde $A$ es tu matriz de base