$T$ es un toro. $H_1(T,Z)\to \operatorname{Hom}\Omega^1(T),C)$ es una inyección.

Question

Sea $T=\frac{V}{\Lambda}$ un toro donde $V$ es un espacio vectorial complejo de dimensión $n$ y $\Lambda$ es una retícula de rango $2n$ en $V$. $\Omega^1(T)$ es el espacio de 1-formas holomorfas de $T$. $dim_C(\Omega^1(T))=n$.

La dualidad de Poincaré dice que $H_1(T)\cong H_1(T)^\star$ donde $\star$ indica la dualidad. Sin embargo $H_1(T)^\star$ es isomorfo al grupo de de Rham de rango $2n$ sobre $Z$. (Corríjame si estoy equivocado aquí). El $(\Omega^1(T))^\star$ tiene rango $2n$ sobre $R$. $H_1(T)^\star$ es una retícula de rango completo en $(\Omega^1(T))^\star.

$\textbf{P:}$ ¿Debería $(\Omega^1(T))^\star$ ser isomorfo al grupo de de Rham para poder ver que hay una incrustación $H_1(T) \to (\Omega^1(T))^\star$ integrando curvas cerradas de $H_1(T)$? ¿Y cuál es la razón por la que $H_1(T,Z)\to (\Omega^1(T))^\star$ es una incrustación? (Sé que es la dualidad de Poincaré pero necesito aplicar la isomorfía de de Rham en algún lugar).

Answer 1

Sea $T = \mathbb C^n / \Lambda$ el toro complejo, y sean $\{ z_1, \dots, z_n \}$ coordenadas complejas para $\mathbb C^n$. Entonces $\Omega^1(T)$ es el espacio vectorial sobre $\mathbb C$ generado por las formas uno $\{ dz_1, \dots dz_n \}$.

[Para ver que esto es cierto, observe que cada forma uno holomorfa en $T$ puede escribirse como $g_1(z_1, \dots, z_n) dz_1 + \dots g_n(z_1, \dots, z_n) dz_n$ para funciones holomorfas $g_1, \dots, g_n$ en $\mathbb C^n$ que son invariantes bajo translaciones por vectores de la red en $\Lambda$. Por el teorema de Liouville para varias variables complejas, las funciones $g_1, \dots, g_n$ deben ser constantes.]

Ahora suponga que $\vec\lambda_1, \dots, \vec\lambda_{2n}$ es un conjunto de vectores en $\mathbb C^n$ que generan la red $\Lambda$ sobre $\mathbb Z$. Cada vector $\vec\lambda_i \in \mathbb C^n$ corresponde a un generador $C_i$ de $H_1(T, \mathbb Z)$: para ser más específico, este ciclo $C_i$ está representado por el segmento de línea recta en $\mathbb C^n$ que une el vector cero con $\vec\lambda_i$, que desciende a un ciclo cerrado en el espacio cociente $\mathbb C^n / \Lambda$.

Finalmente, el ciclo $C_i$ actúa sobre formas uno en $\Omega^1(T)$ mediante integración; es decir, el ciclo $C_i$ corresponde al funcional lineal en $(\Omega^1(T))^\star$ que envía cada $\omega \in \Omega^1(T)$ a la integral $\int_{C_i} \omega$. En particular, $C_i$ envía el vector de base $dz_j \in \Omega^1(T)$ a $\int_{C_i} dz_j$, y esto es igual a la coordenada $j$ del vector de la red $\lambda_i$.

Dado que ningún par de $\lambda_i$ tienen coordenadas idénticas, esto muestra que ningún par de elementos de $H_1(T, \mathbb Z)$ actúan de manera idéntica en $\Omega^1(T)$. En otras palabras, el mapeo $H_1(T, \mathbb Z) \to (\Omega^1(T))^\star$ es inyectivo.