Sums of the form $\sum_{d|n} x^d$ Sumas de la forma $\sum_{d|n} x^d$

Question

Deje que $$S(x,n) = \sum_{d|n} x^d, \quad n \in \Bbb N. $$

¿Estas sumas aparecen en la literatura? ¿Cómo se llaman si es así y qué se sabe sobre ellas?

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Para aclarar, note que esta suma no es lo mismo que la función divisor generalizada divisor function divisor function $$ \sigma_x(n) = \sum_{d|n}d^x.$$ La función $f(n) = n^x$ es una función aritmética para cualquier constante $x$ (en el sentido de que $f(pq) = f(p)f(q)$ para primos $p,q$), por lo que el método de Möbius inversion se puede aplicar para estudiar $\sigma_x(n)$. En contraste, $f(n) = x^n$ no es aritmética cuando $x\neq 1$ o $0$, lo que sugiere que las funciones $S(x,n)$ pueden requerir el uso de otras técnicas menos comunes para entender su comportamiento.

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, pero aquí hay algunos ejemplos de especializaciones de $S(x,n)$ que sí aparecen en la literatura:

1. $S(1,n) = \sigma_0(n)$, la función de número de divisores.

2. $S(-1,n) = \#(\text{divisores pares}) - \#(\text{divisores impares})$. Esta función envía $n = 2^v m$, donde $m$ es impar, a $$ S(-1,2^vm) = (-1+v)\sigma_0(m).$$

3. $S(\frac12,2^k) = \sum_{i=0}^k (\frac12)^{2^i}$, en el límite $k\to \infty$, es conocido como el número de Kempner que se sabe que es trascendental (Kempner, 1916). Me enteré de esto a través de esta pregunta de stackexchange.

Pregunta: ¿Está claro qué sucede para $S(\zeta_k,n)$, donde $\zeta_k$ es una raíz primitiva de $k$-ésima unidad? No pude encontrar una forma cerrada agradable.

Nota que aunque $f(n) = (-1)^n$ no es una función aritmética, la suma sobre los divisores $S(-1,n)$ está ''muy cerca'' de ser aritmética: la fórmula dada anteriormente muestra que $-S(-1,n)$ es (débilmente) aritmética. Supongo que podría haber algún sentido similar en el que $S(\zeta_k, n)$ esté cerca de ser aritmético, pero probablemente sea demasiado esperar que lo mismo ocurra para $S(x,n)$ en general (como una función de $n$).