G + h es un isomorfismo (mapa lineal nilpotente)

Question

$V$ es un espacio vectorial, $g: V \to V$ un isomorfismo y $h: V \to V$ un mapa lineal nilpotente. Además, $g$ y $h$ conmutan. Esto implica que $g+h$ es un isomorfismo.

Bueno, $h$ es nilpotente, así que $h^n=0$. Pero ¿cómo demostrar que $g+h$ es un isomorfismo? No encontré una manera de probarlo. Supuse que $g=Id_V$ pero no sé si esto funciona y cómo continuar.

Answer 1

Tomemos primero el caso $g = 1$ (el mapa identidad). Digamos $h^n = 0$. Tenemos: $$(1+h)(1-h + h^2 - \cdots + h^{n-1}) = 1 + h^n = 1$$

Por lo tanto $1+h$ es un isomorfismo.

Ahora dejemos que $g$ sea cualquier isomorfismo. Tenemos $g+h = g(1 + g^{-1}h)$. Tenemos que $g^{-1}h$ es nilpotente: digamos $h^n = 0$; como $g$ y $h$ conmutan, también lo hacen $g^{-1}$ y $h$, por lo que $(g^{-1}h)^n = (g^{-1})^n h^n = 0$. Por lo tanto, el resultado se sigue del anterior y del hecho de que el producto de isomorfismos es un isomorfismo.