¿Todavía intentando entender el potencial gravitatorio y la ecuación de Poisson?

Question

Hace una semana aproximadamente hice una pregunta sobre el campo de potencial gravitacional $$\phi=\frac{-Gm}{r}, \qquad r\neq 0,$$ ¿cómo mostrar que el Laplaciano de $\phi$ es cero para $r\neq 0$? Finalmente, (me llevó un tiempo) pude entender que

$$\nabla\cdot\nabla\phi=Gm\left(\frac{2x^{2}-y^{2}-z^{2}+2y^{2}-x^{2}-z^{2}+2z^{2}-x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{5/2}}\right)~=~0, \qquad r\neq 0,$$ fue una revelación. Pero ahora me pregunto por qué la ecuación de Poisson $$\nabla\cdot\nabla\phi=\nabla^{2}\phi=4\pi G\rho$$ no siempre es cero también. Obviamente no lo es, así que supongo que dentro de una masa el campo de potencial gravitacional no puede ser dado por $$\phi=\frac{-Gm}{r}, \qquad r\neq 0.$$ ¿Es eso correcto? Además, ¿hay una fórmula igualmente fácil para el potencial gravitacional dentro de una masa o varía (horriblemente?) dependiendo de la forma y densidad de la masa?

Answer 1

Sí. Dentro de la masa (esférica uniforme), según recuerdo, $\phi=-\frac{GM}{2R^3}\left(3R^2-r^2\right)$. O algo así. Así que, $$\phi=\begin{cases} -\frac{GM}{r}, & r>R \\ -\frac{GM}{2R^3}\left(3R^2-r^2\right), & rR \\ 4\pi G\rho_0 &rcampo, y $\rho_0=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ es la densidad de la esfera.

Así que tiene sentido. Recuerda que la densidad de masa es un campo al igual que el potencial gravitacional, calcularlo en un punto del espacio no significa que lo hayas hecho en todos los puntos del espacio. El laplaciano de un $\phi$ discontinuo solo dará $\rho$ dentro de los límites de continuidad. Tienes que dividir la función.

Solo una nota: Incluso para una partícula puntual, $\rho$ no es cero en todas partes. Es infinito en el origen (revisa tu fórmula nuevamente), así que básicamente obtienes una función $\delta$ de Dirac.

Para una masa no esférica/no uniforme no hay una fórmula como esa. Tienes que integrarla tú mismo.

Answer 2

La pregunta ha sido respondida, así que solo como observación (que es demasiado larga para un comentario):

En coordenadas esféricas, el operador de Laplace se ve así

$$\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \varphi} {\partial \over \partial \varphi} \left( \sin \varphi {\partial f \over \partial \varphi} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \varphi} {\partial^2 f \over \partial \theta^2},$$

así que el cálculo para $\phi=\frac{-Gm}{r}, \ r\neq 0,$ que solo depende de $r$, se reduce a calcular

$$-G\ m\ {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial \over \partial r} \frac{1}{r}\right) .$$

Answer 3

Por un lado, para un número finito de cargas puntuales, la distribución de carga $\rho$ es una combinación lineal finita de distribuciones delta de Dirac en 3D Dirac delta. Por otro lado, el Laplaciano de un potencial $1/r$ no es realmente identicamente cero, sino que también es proporcional a una distribución delta de Dirac en 3D. Por lo tanto, no hay inconsistencia.